Calcule as integrais abaixo usando o método da integração por partes:
\int x e^{-x} dx

Passo 1

O exercício pede pra calcular a integral integral x e^-x dx. É um caso de integração por partes. Vamos precisar da fórmula integral u , dv = u v - integral v , du e escolher qual parte vai ser u e qual vai ser dv.

Passo 2

Vamos definir u = x (porque deriva fácil) e dv = e^-x , dx. Então du = dx e, integrando dv, a gente acha v assim: v = integral e^-x dx = -e^-x.

Passo 3

Agora aplica a fórmula: integral x e^-x dx = u v - integral v , du. Substituindo, fica: integral x e^-x dx = x cdot (-e^-x) - integral (-e^-x) , dx = -x e^-x - integral (-e^-x) dx.

Passo 4

Resolve a integral que sobrou: integral (-e^-x) dx = -integral e^-x dx = -(-e^-x) = e^-x. Substituindo, dá integral x e^-x dx = -x e^-x - e^-x + C.

Resposta

-(x+1)e^-x + C

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