Calcule as integrais abaixo usando o método da integração por partes:
\int x \ln x dx

Passo 1

A questão pede para calcular a integral integral x ln x , dx. O conteúdo aqui é integração por partes, que serve pra integrar produtos de funções. A fórmula básica que a gente vai usar é integral u , dv = u v - integral v , du.

Passo 2

Na integração por partes, a gente escolhe u como a parte que fica mais fácil de derivar e dv como a parte que dá pra integrar de boa. Assim, a integral integral v , du que sobra vai ser mais simples.

Passo 3

Aqui, uma escolha natural é u = ln x (porque deriva bem pra 1x) e dv = x , dx (deu pra integrar fácil).

Passo 4

Derivando u e integrando dv, a gente obtém du = 1x , dx e v = x^22.

Passo 5

Substituindo na fórmula de integração por partes, a gente escreve:
integral x ln x , dx = ln x cdot x^22 - integral x^22 cdot 1x , dx
Dentro da integral que sobrou, x^22cdot1x simplifica pra x2, então vira x^22ln x - integral x2 , dx.

Passo 6

Agora, integrar x2 x^24. Resta só incluir a constante de integração.

Resposta

x^22ln x - x^24 + C

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