Nos exercícios de 19 a 28, determine a área da região compreendida entre as curvas.
25. Limitada pela curva y=12-x-x^2, pelo eixo x e pelas retas x=-3 e x=2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela curva ;y=12 - x - x^2, pelo eixo x e pelas retas verticais x=-3 e x=2. O conteúdo aqui é cálculo de área sob uma curva via integração definida.

Passo 2

Primeiro, verificamos onde a curva cruza o eixo x resolvendo
12 - x - x^2 = 0
ou seja
x^2 + x - 12 = 0 Longrightarrow x = -1 pm raiz1 + 482 = -4,;3
Como o coeficiente de x^2 é negativo, a parábola abre para baixo e fica acima do eixo x no intervalo (-4,3). Em particular, em [-3,2] temos y>=0.

Passo 3

Logo, a área procurada é
A = integral-3^2 l(12 - x - x^2r),dx
Calculamos um antiderivado:
F(x) = integral l(12 - x - x^2r),dx = 12x - x^22 - x^33

Passo 4

Agora avaliamos nos limites:
F(2) = 12cdot2 - 2^22 - 2^33 = 24 - 2 - 83 = 22 - 83 = 583,
F(-3) = 12cdot(-3) - (-3)^22 - (-3)^33 = -36 - 92 + 9 = -27 - 92 = -632
Portanto,
A = F(2) - F(-3) = 583 - l(-632r) = 583 + 632 = 3056

Resposta

3056

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