Considere a série de potências
e seja
. Mostre que:
(a) Se
R=infty então o raio de convergência da série é
c=infty .
(b) Se
R=0 então o raio de convergência da série é
0 .
© Se
R=1 / c então o raio de convergência da série é
.
(a) Se
(b) Se
© Se
Passo 1
O enunciado pede para a gente mostrar como o limite
c=limntoinfty|cn+1/cn| se relaciona com o raio de convergência
R da série de potências
sumn=0^infty cn x^n . Vamos usar o critério da razão para séries de potências.
Passo 2
Definimos
an=cn x^n e aplicamos o critério da razão:
Pelo critério, a série converge se esse limite for menor que 1.
Passo 3
Da condição de convergência
c|x|<1 concluímos que ela vale para
|x|<1/c . Isso significa que o raio de convergência geral é
Passo 4
Agora basta analisar os três casos:
- Se
, entãoc=0 para todoc|x|=0<1 , logox .R=infty - Se
, entãoc=infty para todoc|x|=infty>1 , só converge emxneq0 , logox=0 .R=0 - Se
, daí0 normalmente.R=1/c
Resposta
a) R=\infty; b) R=0; c) R=1/c