Considere a série de potências sumn=0^infty cn x^n e seja c=0. Mostre que:
(a) Se R=infty então o raio de convergência da série é c=infty.
(b) Se R=0 então o raio de convergência da série é 0.
© Se R=1 / c então o raio de convergência da série é .

Passo 1

O enunciado pede para a gente mostrar como o limite c=limntoinfty|cn+1/cn| se relaciona com o raio de convergência R da série de potências sumn=0^infty cn x^n. Vamos usar o critério da razão para séries de potências.

Passo 2

Definimos an=cn x^n e aplicamos o critério da razão:
limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|cn+1x^n+1cn x^n| =limntoinfty|cn+1cn|,|x| =c,|x|
Pelo critério, a série converge se esse limite for menor que 1.

Passo 3

Da condição de convergência c|x|<1 concluímos que ela vale para |x|<1/c. Isso significa que o raio de convergência geral é
R=1c

Passo 4

Agora basta analisar os três casos:
  • Se c=0, então c|x|=0<1 para todo x, logo R=infty.
  • Se c=infty, então c|x|=infty>1 para todo xneq0, só converge em x=0, logo R=0.
  • Se 0, daí R=1/c normalmente.

Resposta

a) R=\infty; b) R=0; c) R=1/c

Exercícios relacionados