Determine os extremos de
nos itens abaixo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão pede: determinar os extremos (máximos, mínimos e pontos de sela) da função de duas variáveis
no domínio fechado e limitado
. Isso envolve encontrar pontos críticos pela condição
, classificar esses pontos e também verificar as fronteiras do domínio.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
Igualamos ambas a zero:
Passo 4
Subtraindo as duas equações vemos que
. Há dois casos: ou
ou
.
No caso , substituímos em
. Usando
obtemos
No caso
Passo 5
As raízes são
(
) e
(
). Logo, os pontos críticos interiores são
Passo 6
No outro caso
volta a dar
, então já está incluído.
Passo 7
Agora avaliamos
nesses pontos:
Passo 8
Para classificar, vemos que
é o maior valor entre todos, e
é o menor. Logo:
– é máximo global.
– é mínimo global.
– é ponto de sela (valor intermediário e muda sinal na vizinhança).
–
–
–
Passo 9
Finalmente, precisamos checar as bordas do retângulo. Por exemplo, em
ou
fica
Resposta
Máximo global em (π/3, π/3) com f=3√3/2. Mínimo global em (5π/3, 5π/3) com f=–3√3/2. Ponto de sela em (π, π) com f=0. Nas bordas há máximos locais f=2 em (0, π/2),(2π, π/2),(π/2, 0),(π/2, 2π) e mínimos locais f=–2 em (0, 3π/2),(2π, 3π/2),(3π/2, 0),(3π/2, 2π).