Determine os extremos de f nos itens abaixo.
f(x, y)=sen x+sen y+sen(x+y), 0 <= x, y <= 2 pi

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede: determinar os extremos (máximos, mínimos e pontos de sela) da função de duas variáveis f(x,y)=sin x+sin y+sin(x+y) no domínio fechado e limitado [0,2pi]times[0,2pi]. Isso envolve encontrar pontos críticos pela condição nabla f=0, classificar esses pontos e também verificar as fronteiras do domínio.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
fx=partial fpartial x=cos x+cos(x+y),
fy=partial fpartial y=cos y+cos(x+y)

Passo 3

Igualamos ambas a zero:
cos x+cos(x+y)=0,
cos y+cos(x+y)=0

Passo 4

Subtraindo as duas equações vemos que cos x=cos y. Há dois casos: ou x=y ou x=2pi-y.
No caso x=y, substituímos em cos x+cos(2x)=0. Usando cos(2x)=2cos^2x-1 obtemos
cos x+2cos^2x-1=0implies 2t^2+t-1=0, t=cos x

Passo 5

As raízes são t=1/2 ( x=pi/3,5pi/3) e t=-1 ( x=pi). Logo, os pontos críticos interiores são
(pi/3,pi/3),(5pi/3,5pi/3),(pi,pi)

Passo 6

No outro caso x=2pi-y volta a dar (pi,pi), então já está incluído.

Passo 7

Agora avaliamos f nesses pontos:
f(pi/3,pi/3)=3raiz32, f(5pi/3,5pi/3)=-3raiz32, f(pi,pi)=0

Passo 8

Para classificar, vemos que 3raiz3/2approx2,598 é o maior valor entre todos, e -3raiz3/2approx-2,598 é o menor. Logo:
(pi/3,pi/3) é máximo global.
(5pi/3,5pi/3) é mínimo global.
(pi,pi) é ponto de sela (valor intermediário e muda sinal na vizinhança).

Passo 9

Finalmente, precisamos checar as bordas do retângulo. Por exemplo, em x=0 ou x=2pi fica
f(0,y)=f(2pi,y)=2sin y, que atinge 2 em y=pi/2 e -2 em y=3pi/2. De modo análogo para y=0 ou y=2pi. Esses são extremos nas fronteiras, mas como 2<3raiz3/2 e -2>-3raiz3/2, não superam os extremos globais do interior.

Resposta

Máximo global em (π/3, π/3) com f=3√3/2. Mínimo global em (5π/3, 5π/3) com f=–3√3/2. Ponto de sela em (π, π) com f=0. Nas bordas há máximos locais f=2 em (0, π/2),(2π, π/2),(π/2, 0),(π/2, 2π) e mínimos locais f=–2 em (0, 3π/2),(2π, 3π/2),(3π/2, 0),(3π/2, 2π).

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