Calcule as integrais abaixo usando o método da substituição. Derive para verificar a solução.
integral cos ^3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral cos^3 x,dx usando o método da substituição. O conteúdo envolvido é integração de funções trigonométricas e uso de identidades trigonométricas para preparar a substituição.

Passo 2

Usando a identidade cos^3 x=cos xcdotcos^2 x e lembrando que cos^2 x=1-sin^2 x, reescrevemos a integral como
integral cos^3 x,dx=integral cos x,(1-sin^2 x),dx

Passo 3

Fazemos a substituição u=sin x, então du=cos x,dx. A integral fica
integral (1-u^2),du

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral (1-u^2),du=integral 1,du-integral u^2,du=u-u^33+C

Passo 5

Voltando a variável original u=sin x, obtemos a primitiva

Passo 6

Para verificar, derivamos:
F'(x)=cos x-3sin^2 xcdotcos x3=cos x(1-sin^2 x)=cos^3 x,
confirmando que está correto.

Resposta

sin x-sin^3 x3+C

Exercícios relacionados