Calcule as integrais abaixo usando o método da substituição. Derive para verificar a solução.
integral tan x sec ^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral tan x,sec^2 x,dx usando substituição e em seguida verificar a resposta derivando. Estamos num contexto de Integração por Substituição, e vamos precisar saber que dfracddx(tan x)=sec^2 x.

Passo 2

Definimos a substituição escolhendo u=tan x. Logo o diferencial de u é dado por
du=sec^2 x,dx

Passo 3

Com essa escolha, a integral original se transforma em uma integral simples em u:
integral tan x,sec^2 x,dx=integral u,du

Passo 4

Agora integramos em u. Usando a fórmula integral u,du=tfracu^22+C, obtemos:
integral u,du=u^22+C

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u=tan x e chegamos à solução:
F(x)=tan^2 x2+C

Passo 6

Para verificar, derivamos F(x) e conferimos se recuperamos o integrando:
ddxl(tfractan^2 x2+Cr)=12cdot2tan xcdotsec^2 x=tan x,sec^2 x,
que é exatamente o integrando original. Portanto, a solução está confirmada.

Resposta

tan^2 x2+C

Exercícios relacionados