Verifique se existem os limites
Passo 1
O exercício pede para verificar a existência de quatro limites de funções de duas variáveis no ponto (0,0). O conteúdo principal aqui é limite de funções de duas variáveis e vamos precisar usar caminhos diferentes (para ver dependência de trajetória), coordenadas polares (para ver comportamento em função de r→0) e o limite fundamental $\displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1$.
Passo 2
Para
, no limite
, teste duas retas: se y=0, a expressão vira
; se x=0, vira
. Como obtemos valores diferentes (1 e -1), o limite não existe.
Passo 3
No limite
, use coordenadas polares:
Então
Como , temos
independentemente de
, logo o limite é 0.
Então
Como
Passo 4
Para
em
, basta notar que
, e usar o limite fundamental
. Assim o limite é 1.
Passo 5
Por fim, no limite
, tente a reta y=tx:
Para qualquer , o fator
é constante não-nula, e
diverge quando x
. Logo o valor depende do caminho e mesmo fica sem limite finito. O limite não existe.
Para qualquer
Resposta
- não existe; 2) 0; 3) 1; 4) não existe