Verifique se existem os limites
lim (x, y) (0,0) x^2-y^2x^2+y^2, lim (x, y) (0,0) x^3x^2+y^2, lim (x, y) (0,0) sen(x^2+y^2)x^2+y^2, lim (x, y) (0,0) x y(x-y)x^4+y^4

Passo 1

O exercício pede para verificar a existência de quatro limites de funções de duas variáveis no ponto (0,0). O conteúdo principal aqui é limite de funções de duas variáveis e vamos precisar usar caminhos diferentes (para ver dependência de trajetória), coordenadas polares (para ver comportamento em função de r→0) e o limite fundamental $\displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1$.

Passo 2

Para (x,y)to(0,0), no limite x^2-y^2x^2+y^2, teste duas retas: se y=0, a expressão vira x^2-0x^2+0=1; se x=0, vira 0-y^20+y^2=-1. Como obtemos valores diferentes (1 e -1), o limite não existe.

Passo 3

No limite lim(x,y)to(0,0)x^3x^2+y^2, use coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta
Então x^3x^2+y^2=r^3cos^3thetar^2=rcos^3theta
Como rto0, temos rcos^3thetato0 independentemente de theta, logo o limite é 0.

Passo 4

Para (x,y)to(0,0) em sin(x^2+y^2)x^2+y^2, basta notar que
u=x^2+y^2to0^+, e usar o limite fundamental (limuto0sin uu=1). Assim o limite é 1.

Passo 5

Por fim, no limite xy(x-y)x^4+y^4, tente a reta y=tx:
xy(x-y)x^4+y^4=t(1-t)x^3(1+t^4)x^4=t(1-t)1+t^4cdot1x
Para qualquer tnotin0,1, o fator (t(1-t)1+t^4) é constante não-nula, e 1/x diverge quando x to0. Logo o valor depende do caminho e mesmo fica sem limite finito. O limite não existe.

Resposta

  1. não existe; 2) 0; 3) 1; 4) não existe

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