Calcule as integrais abaixo usando a mudança de variáveis mais adequada. , sendo a região delimitada por e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que está pedindo pra calcular . A matéria aqui envolve cálculo de integrais duplas e vamos usar a técnica de mudança de variáveis para facilitar a resolução. Vamos precisar identificar uma transformação que simplifique tanto a função que estamos integrando quanto os limites da região .
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na região . Ela é delimitada pelas retas , , e . Observando essas equações, percebemos que elas podem ser simplificadas usando novas variáveis que representem e . Então, vamos definir:
Essa mudança de variável vai facilitar tanto a expressão da função quanto a descrição da região .
Passo 3
Agora, precisamos expressar e em termos de e . Vamos resolver o sistema de equações:
Somando essas duas equações:
Subtraindo a segunda da primeira:
Então, temos:
Passo 4
Vamos determinar os novos limites de integração em termos de e . Originalmente, é limitado por:
Então, na nova coordenada, varia de 1 a 3 e varia de 0 a 1.
Passo 5
Precisamos calcular o jacobiano dessa transformação para ajustar a integral. O jacobiano é dado pelo determinante da matriz das derivadas parciais de e em relação a e :