Calcule as integrais abaixo usando a mudança de variáveis mais adequada.
integral duplaR x-yx+y d A, sendo R a região delimitada por x+y=1, x+y=3, y-x=0 e y-x=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que está pedindo pra calcular integral duplaR x-yx+y , dA. A matéria aqui envolve cálculo de integrais duplas e vamos usar a técnica de mudança de variáveis para facilitar a resolução. Vamos precisar identificar uma transformação que simplifique tanto a função que estamos integrando quanto os limites da região R .

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na região R . Ela é delimitada pelas retas x + y = 1 , x + y = 3 , y - x = 0 e y - x = 1 . Observando essas equações, percebemos que elas podem ser simplificadas usando novas variáveis que representem x + y e y - x . Então, vamos definir:
u = x + y
v = y - x
Essa mudança de variável vai facilitar tanto a expressão da função quanto a descrição da região R .

Passo 3

Agora, precisamos expressar x e y em termos de u e v . Vamos resolver o sistema de equações:
u = x + y
v = y - x
Somando essas duas equações:
u + v = 2y Rightarrow y = u + v2
Subtraindo a segunda da primeira:
u - v = 2x Rightarrow x = u - v2
Então, temos:
x = u - v2
y = u + v2

Passo 4

Vamos determinar os novos limites de integração em termos de u e v . Originalmente, R é limitado por:
x + y = 1 Rightarrow u = 1
x + y = 3 Rightarrow u = 3
y - x = 0 Rightarrow v = 0
y - x = 1 Rightarrow v = 1
Então, na nova coordenada, u varia de 1 a 3 e v varia de 0 a 1.

Passo 5

Precisamos calcular o jacobiano dessa transformação para ajustar a integral. O jacobiano J é dado pelo determinante da matriz das derivadas parciais de x e y em relação a u e v :
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v
Calculando as derivadas:
partial xpartial u = 12, partial xpartial v = -12
partial ypartial u = 12, partial ypartial v = 12
Então,
J = ( 12 cdot 12 ) - ( -12 cdot 12 ) = 14 + 14 = 12
O valor absoluto do jacobiano é |J| = 12 .

Passo 6

Vamos agora reescrever a integral original usando as novas variáveis:
integral duplaR x - yx + y , dA = integralu=1^3 integralv=0^1 ( u - v2 - u + v2 )u cdot 12 , dv , du
Simplificando a expressão dentro da integral:
( u - v2 - u + v2 )u = u - v - u - v2 u = -2v 2 u = -v u
Então, a integral fica:
integral duplaR x - yx + y , dA = integral1^3 integral0^1 ( -v u ) cdot 12 , dv , du = -12 integral1^3 1u ( integral0^1 v , dv ) du

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^1 v , dv = [ v^22 ]0^1 = 12 - 0 = 12
Substituindo de volta:
-12 integral1^3 1u cdot 12 , du = -14 integral1^3 1u , du
Integrando 1u :
integral 1u , du = ln|u|
Portanto:
-14 [ ln|u| ]1^3 = -14 ( ln 3 - ln 1 ) = -14 ln 3

Resposta

O valor da integral dupla é -14 ln 3 .

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