Utilize os testes de convergência para determinar se as séries são convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty 1n(1+(ln (n))^2)

Passo 1

A série em análise é sumn=1^infty 1nl(1+(ln n)^2r). O conteúdo envolve testes de convergência para séries positivas e infinitas; vamos usar o teste da integral (ou comparação assintótica com 1/(n(ln n)^2)).

Passo 2

Observamos que a função
f(x)=1xl(1+(ln x)^2r)
é positiva, contínua e decrescente para x>=1, então podemos aplicar o teste da integral.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria correspondente:
integral1^inftydxxl(1+(ln x)^2r)
Fazendo a mudança de variável t=ln x, temos dt=dx/x e os limites vão de t=0 a t=infty. Assim,
integral1^inftydxxl(1+(ln x)^2r) =integral0^inftydt1+t^2 =l[arctan tr]0^infty =pi2,
que é finito.

Passo 4

Como a integral converge (valor pi/2), pelo teste da integral concluímos que a série original também converge.

Resposta

A série é convergente.

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