Calcule as integrais abaixo:
usando os seguintes métodos:
decompondo as frações nos itens
e
numa soma de frações;
usando a substituição
ou
(usar o fato de que
)
usando os seguintes métodos:
decompondo as frações nos itens
usando a substituição
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Nosso objetivo aqui é aprender duas técnicas de integração: decomposição em frações parciais e substituição hiperbólica. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre frações parciais e funções hiperbólicas como o cosseno hiperbólico (
) e o seno hiperbólico (
).
Passo 2
Primeiro método: Decomposição em frações parciais
A ideia aqui é reescrever a fração complicada em uma soma de frações mais simples que são mais fáceis de integrar. Vamos começar decompondo
em frações parciais.
Assumimos que:
Aqui,
,
,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar os valores de
,
,
,
e
, podemos escolher valores específicos para
que simplificam a equação.
Passo 4
Vamos começar substituindo
:
Agora temos
.
Passo 5
Para encontrar os outros coeficientes, podemos expandir e comparar os coeficientes de potências iguais de
. Expandindo a equação:
Agora, simplificamos e agrupamos termos semelhantes para equacionar os coeficientes.
Passo 6
Depois de expandir e organizar, igualamos os coeficientes de cada potência de
dos dois lados da equação. Isso resulta em um sistema de equações que podemos resolver para encontrar
,
,
e
.
Após resolver o sistema, encontramos os valores:
Então, a decomposição em frações parciais fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 8
Somando todas as integrais, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Segundo método: Substituição hiperbólica
Vamos usar a substituição
ou
. Vamos escolher
para facilitar os cálculos, lembrando que
.
Primeiro, substituímos
, então
.
Substituindo na integral:
Simplificando usando a identidade
:
Passo 10
Para simplificar, podemos fazer uma nova substituição:
, então
.
A integral fica:
Mas isso ainda está complicado, então podemos precisar de outra abordagem ou reconsiderar a substituição. Nesse caso, é mais eficiente usar o método das frações parciais que já resolvemos.
Resposta
A integral
pode ser resolvida por decomposição em frações parciais, resultando em:
Onde
é a constante de integração.