Calcule o valor de cada limite abaixo:
lim x -1 x^3+x^2+3 x+3x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos:
lim x -1 x^3+x^2+3 x+3x+1
Aqui, vamos usar conceitos de limites e álgebra, especialmente fatoração de polinômios. Vamos precisar identificar se conseguimos simplificar a expressão para encontrar o valor do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = -1 diretamente na expressão para ver o que acontece:
(-1)^3 + (-1)^2 + 3(-1) + 3-1 + 1 = -1 + 1 - 3 + 30 = 00
Obtemos uma forma indeterminada 00 , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para simplificar, vamos fatorar o polinômio no numerador x^3 + x^2 + 3x + 3 . Podemos tentar fatorar por agrupamento:
x^3 + x^2 + 3x + 3 = x^2(x + 1) + 3(x + 1) = (x^2 + 3)(x + 1)
Então, o numerador pode ser reescrito como (x^2 + 3)(x + 1) .

Passo 4

Agora, substituímos a fatoração na expressão original:
(x^2 + 3)(x + 1)x + 1
Perceba que x + 1 está presente tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelar esse termo (desde que x neq -1 ):
(x^2 + 3)cancel(x + 1)cancelx + 1 = x^2 + 3

Passo 5

Agora, a expressão ficou muito mais simples: x^2 + 3 . Para encontrar o limite, substituímos x = -1 :
lim x -1 x^2 + 3 = (-1)^2 + 3 = 1 + 3 = 4

Resposta

lim x -1 x^3+x^2+3 x+3x+1 = 4

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