Calcule as integrais abaixo:
integral (3 x^2-5 x+8) d xx^2-4
usando os seguintes métodos:
decompondo as frações nos itens b e c numa soma de frações;
usando a substituição x=ch theta ou x=sh theta (usar o fato de que ch^2 theta-sh^2 theta=1 )

Passo 1

O enunciado pede calcular a antiderivada
integral 3x^2-5x+8x^2-4,dx
por dois métodos:
  1. decompondo em frações parciais;
  2. usando a substituição hiperbólica x=2,chtheta (ou, equivalentemente, x=2,shtheta), aproveitando ch^2theta-sh^2theta=1.

Passo 2

Vamos primeiro dividir o polinômio e decompor em frações parciais. Fazendo a divisão de 3x^2-5x+8 por x^2-4 obtemos
3x^2-5x+8 = 3,(x^2-4) + (-5x+20),
logo
3x^2-5x+8x^2-4 =3 ;+;-5x+20(x-2)(x+2)
Agora escrevemos
-5x+20(x-2)(x+2) =Ax-2+Bx+2
Igualando numeradores:
-5x+20 = A(x+2)+B(x-2) =(A+B)x + (2A-2B)
Assim
A+B=-5, 2A-2B=20 Longrightarrow A=52,;B=-152

Passo 3

Substituindo de volta, o integrando fica
3 + 5/2x-2 - 15/2x+2
Integramos termo a termo:
integral 3,dx = 3x, integral 5/2x-2,dx = 52lnlvert x-2rvert, integral -15/2x+2,dx = -152lnlvert x+2rvert
Portanto, pelo método de frações parciais,
integral 3x^2-5x+8x^2-4,dx =3x + 52lnlvert x-2rvert - 152lnlvert x+2rvert + C

Passo 4

Agora usamos a substituição hiperbólica x=2,chtheta. Então
dx = 2,shtheta,dtheta, x^2-4 =4,l(ch^2theta-1r)=4,sh^2theta,
e o numerador vira
3x^2-5x+8 =12,ch^2theta -10,chtheta +8
Logo o integrando em theta é
integral (12,ch^2theta -10,chtheta +8),2,shtheta 4,sh^2theta,dtheta =12integral 12,ch^2theta -10,chtheta +8 shtheta,dtheta
Separando e usando ch^2theta=1+sh^2theta:
12integrall(12,1+sh^2thetashtheta -10,chthetashtheta +8,1shthetar)!dtheta =integrall(10,cschtheta +6,shtheta -5,coththetar),dtheta
As primitivas conhecidas são
integralshtheta,dtheta = chtheta, integralcoththeta,dtheta = lnlvertshthetarvert, integralcschtheta,dtheta = lnllverttanhtheta2rrvert
Logo em theta obtemos
6,chtheta +10,lnllverttanhtheta2rrvert -5,lnlvertshthetarvert +C

Passo 5

Retornando a x:
chtheta = x/2,
shtheta = raizx^2-4/2,
tanhtheta2 = chtheta-1shtheta =x-2raizx^2-4.
Substituindo nos logaritmos e reunindo constantes, obtém-se exatamente
3x + 52lnlvert x-2rvert - 152lnlvert x+2rvert + C,
coincidindo com o resultado das frações parciais.

Resposta

integral 3x^2-5x+8x^2-4,dx =3x + 52lnllvert x-2rrvert - 152lnllvert x+2rrvert + C

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