Calcule as integrais abaixo usando os seguintes métodos de resolução numérica para 4 e para 10 subintervalos.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar numericamente a integral
usando “os seguintes métodos de resolução numérica” para
e para
subintervalos. As informações dadas são:
Observação importante: o enunciado não listou explicitamente quais métodos numéricos usar. Vou escolher métodos numéricos básicos e muito usados em provas: a Regra do Trapézio e a Regra de Simpson (1/3). Explico e justifico essa escolha no passo seguinte.
Passo 2
Por que escolhi Trapézio e Simpson?
- Segui a regra dada para escolher o método: quando o enunciado não especifica, uso métodos básicos da matéria de Integração Numérica. Trapézio e Simpson são os mais habituais em provas e complementares: Trapézio é simples e gera erro de ordem
; Simpson (1/3) é mais preciso para funções polinomiais e tem erro de ordem . - Nota prática: Simpson exige que
seja par; aqui e são pares, logo Simpson é aplicável.
Antes de calcular, explico as fórmulas e o que cada símbolo significa.
Passo 3
Fórmula e significado das quantidades para os dois métodos
- Dividimos o intervalo
em subintervalos iguais. A largura de cada subintervalo é
Os pontos (nós) são
para
.
- Regra do Trapézio (composta): a aproximação
é
Aqui
.
- Regra de Simpson 1/3 (composta): exige
par; a aproximação é
Ou seja, somamos com peso
os nós de índice ímpar e com peso
os nós de índice par (exceto extremos).
Vou calcular
e
para
e
. Sempre que eu usar um valor de
eu mostro o cálculo do
e do
.
Passo 4
Cálculo do Trapézio para
- Primeiro,
. - Nós:
, , , , . - Avaliando
:
- Soma dos termos interiores:
- Aplicando a fórmula do Trapézio:
- Calculo intermediário:
Passo 5
Cálculo do Trapézio para
-
. - Nós
para . Vou listar :
- Soma dos termos interiores
a :
- Aplicando Trapézio:
- Calculo:
Passo 6
Cálculo de Simpson (1/3) para
- Já temos
e os mesmos do Passo 4. - Na fórmula de Simpson, os índices ímpares são
e o par interno é .
- Aplicando Simpson:
Substituindo:
- Calculo interno:
(em forma fracionária
).
Passo 7
Cálculo de Simpson (1/3) para
-
. Usamos os listados no Passo 5. - Soma dos índices ímpares
:
- Soma dos índices pares
:
- Aplicando Simpson:
Substituindo:
- Calculo interno:
Passo 8
Valor exato (para referência e para avaliar erros)
- Podemos calcular a integral exatamente:
- Erros aproximados (diferença entre aproximação e exato):
- Observação prática: Simpson é muito melhor aqui porque
é um polinômio suave e Simpson integra polinômios até grau exatamente com um certo localmente; ainda assim, com particionamento composto Simpson aproxima muito bem polinômios de grau maior do que o trapézio para um mesmo .