Calcule as integrais abaixo usando os seguintes métodos de resolução numérica para 4 e para 10 subintervalos.
\quad \int_{2}^{4} x^{4} d x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar numericamente a integral
\int_{2}^{4} x^{4}\,dx
usando “os seguintes métodos de resolução numérica” para 4 e para 10 subintervalos. As informações dadas são:
\text{intervalo: }[2,4],\qquad f(x)=x^{4},\qquad \text{número de subintervalos: }n=4\text{ e }n=10.ú
Observação importante: o enunciado não listou explicitamente quais métodos numéricos usar. Vou escolher métodos numéricos básicos e muito usados em provas: a Regra do Trapézio e a Regra de Simpson (1/3). Explico e justifico essa escolha no passo seguinte.

Passo 2

Por que escolhi Trapézio e Simpson?
  • Segui a regra dada para escolher o método: quando o enunciado não especifica, uso métodos básicos da matéria de Integração Numérica. Trapézio e Simpson são os mais habituais em provas e complementares: Trapézio é simples e gera erro de ordem O(h^2); Simpson (1/3) é mais preciso para funções polinomiais e tem erro de ordem O(h^4).
  • Nota prática: Simpson exige que n seja par; aqui n=4 e n=10 são pares, logo Simpson é aplicável.
Antes de calcular, explico as fórmulas e o que cada símbolo significa.

Passo 3

Fórmula e significado das quantidades para os dois métodos
  • Dividimos o intervalo [a,b]=[2,4] em n subintervalos iguais. A largura de cada subintervalo é
h=\frac{b-a}{n}=\frac{4-2}{n}=\frac{2}{n}.
Os pontos (nós) são \;x_k=a+k h=2+k h\; para k=0,1,\dots,n.
  • Regra do Trapézio (composta): a aproximação T_n é
T_n=\frac{h}{2}\Big(f(x_0)+2\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k)+f(x_n)\Big).
Aqui f(x_k)=x_k^4.
  • Regra de Simpson 1/3 (composta): exige n par; a aproximação S_n é
S_n=\frac{h}{3}\Big(f(x_0)+4\sum_{\substack{k=1\\\ k\\ \text{ímpar}}}^{n-1} f(x_k)+2\sum_{\substack{k=2\\\ k\\ \text{par}}}^{n-2} f(x_k)+f(x_n)\Big).í
Ou seja, somamos com peso 4 os nós de índice ímpar e com peso 2 os nós de índice par (exceto extremos).
Vou calcular T_n e S_n para n=4 e n=10. Sempre que eu usar um valor de f(x_k) eu mostro o cálculo do x_k e do f(x_k)=x_k^4.

Passo 4

Cálculo do Trapézio para n=4
  • Primeiro, h=\dfrac{2}{4}=0{,}5.
  • Nós: x_0=2{,}0, x_1=2{,}5, x_2=3{,}0, x_3=3{,}5, x_4=4{,}0.
  • Avaliando f(x)=x^4:
\begin{aligned} f(x_0)&=2^4=16,\\\ f(x_1)&=(2{,}5)^4=39{,}0625,\\\ f(x_2)&=3^4=81,\\\ f(x_3)&=(3{,}5)^4=150{,}0625,\\\ f(x_4)&=4^4=256. \end{aligned}
  • Soma dos termos interiores:
\sum_{k=1}^{3} f(x_k)=39{,}0625+81+150{,}0625=270{,}125.
  • Aplicando a fórmula do Trapézio:
T_4=\frac{h}{2}\Big(f(x_0)+2\sum_{k=1}^{3} f(x_k)+f(x_4)\Big) =\frac{0{,}5}{2}\big(16+2\cdot270{,}125+256\big).
  • Calculo intermediário:
16+2\cdot270{,}125+256=16+540{,}25+256=812{,}25.
T_4=\frac{0{,}5}{2}\cdot812{,}25=0{,}25\cdot812{,}25=203{,}0625.

Passo 5

Cálculo do Trapézio para n=10
  • h=\dfrac{2}{10}=0{,}2.
  • Nós x_k=2+0{,}2k para k=0,\dots,10. Vou listar f(x_k)=x_k^4:
\begin{aligned} f(x_0)&=f(2{,}0)=16,\\\ f(x_1)&=f(2{,}2)=23{,}4256,\\\ f(x_2)&=f(2{,}4)=33{,}1776,\\\ f(x_3)&=f(2{,}6)=45{,}6976,\\\ f(x_4)&=f(2{,}8)=61{,}4656,\\\ f(x_5)&=f(3{,}0)=81,\\\ f(x_6)&=f(3{,}2)=104{,}8576,\\\ f(x_7)&=f(3{,}4)=133{,}6336,\\\ f(x_8)&=f(3{,}6)=167{,}9616,\\\ f(x_9)&=f(3{,}8)=208{,}5136,\\\ f(x_{10})&=f(4{,}0)=256. \end{aligned}
  • Soma dos termos interiores k=1 a 9:
\sum_{k=1}^{9} f(x_k)=859{,}7328.
  • Aplicando Trapézio:
T_{10}=\frac{h}{2}\big(f(x_0)+2\sum_{k=1}^{9} f(x_k)+f(x_{10})\big) =\frac{0{,}2}{2}\big(16+2\cdot859{,}7328+256\big).
  • Calculo:
16+2\cdot859{,}7328+256=16+1719{,}4656+256=1991{,}4656,
T_{10}=0{,}1\cdot1991{,}4656=199{,}14656.

Passo 6

Cálculo de Simpson (1/3) para n=4
  • Já temos h=0{,}5 e os mesmos f(x_k) do Passo 4.
  • Na fórmula de Simpson, os índices ímpares são k=1,3 e o par interno é k=2.
\sum_{\text{ímpar}} f(x_k)=f(x_1)+f(x_3)=39{,}0625+150{,}0625=189{,}125,í
\sum_{\text{par}} f(x_k)=f(x_2)=81.
  • Aplicando Simpson:
S_4=\frac{h}{3}\big(f(x_0)+4\sum_{\text{ímpar}} f(x_k)+2\sum_{\text{par}} f(x_k)+f(x_4)\big).í
Substituindo:
S_4=\frac{0{,}5}{3}\big(16+4\cdot189{,}125+2\cdot81+256\big).
  • Calculo interno:
4\cdot189{,}125=756{,}5,\qquad 2\cdot81=162,
16+756{,}5+162+256=1190{,}5.
S_4=\frac{0{,}5}{3}\cdot1190{,}5=\frac{1}{6}\cdot1190{,}5=198{,}416666\ldots
(em forma fracionária S_4=\dfrac{1190{,}5}{6}=198{,}416\overline{6}).

Passo 7

Cálculo de Simpson (1/3) para n=10
  • h=0{,}2. Usamos os f(x_k) listados no Passo 5.
  • Soma dos índices ímpares k=1,3,5,7,9:
\sum_{\text{ímpar}} f(x_k)=23{,}4256+45{,}6976+81+133{,}6336+208{,}5136=492{,}2704.í
  • Soma dos índices pares k=2,4,6,8:
\sum_{\text{par}} f(x_k)=33{,}1776+61{,}4656+104{,}8576+167{,}9616=367{,}4624.
  • Aplicando Simpson:
S_{10}=\frac{h}{3}\big(f(x_0)+4\sum_{\text{ímpar}} f(x_k)+2\sum_{\text{par}} f(x_k)+f(x_{10})\big).í
Substituindo:
S_{10}=\frac{0{,}2}{3}\big(16+4\cdot492{,}2704+2\cdot367{,}4624+256\big).
  • Calculo interno:
4\cdot492{,}2704=1969{,}0816,\qquad 2\cdot367{,}4624=734{,}9248,
16+1969{,}0816+734{,}9248+256=2976{,}0064.
S_{10}=\frac{0{,}2}{3}\cdot2976{,}0064=\frac{1}{15}\cdot2976{,}0064=198{,}4004266\ldots

Passo 8

Valor exato (para referência e para avaliar erros)
  • Podemos calcular a integral exatamente:
\int_{2}^{4} x^4\,dx=\left.\frac{x^5}{5}\right|_{2}^{4}=\frac{4^5-2^5}{5}=\frac{1024-32}{5}=\frac{992}{5}=198{,}4.
  • Erros aproximados (diferença entre aproximação e exato):
\begin{aligned} T_4- \text{exato}&=203{,}0625-198{,}4=4{,}6625,\\\ S_4- \text{exato}&\approx198{,}416666\ldots-198{,}4=0{,}016666\ldots,\\\ T_{10}- \text{exato}&=199{,}14656-198{,}4=0{,}74656,\\\ S_{10}- \text{exato}&\approx198{,}4004266\ldots-198{,}4=0{,}0004266\ldots. \end{aligned}
  • Observação prática: Simpson é muito melhor aqui porque f(x)=x^4 é um polinômio suave e Simpson integra polinômios até grau 3 exatamente com um certo n localmente; ainda assim, com particionamento composto Simpson aproxima muito bem polinômios de grau maior do que o trapézio para um mesmo n.

Resposta

T_{4}=203{,}0625
S_{4}=198{,}416666\ldots
T_{10}=199{,}14656
S_{10}=198{,}4004266\ldots

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