Calcule as integrais abaixo usando os seguintes métodos de resolução numérica para 4 e para 10 subintervalos.
\quad \int_{3}^{7} 3 x+4 d x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
\int_{3}^{7} 3x+4 \, dx
usando métodos numéricos com 4 subintervalos e com 10 subintervalos. Informações dadas:
  • A função integranda é f(x)=3x+4.
  • O intervalo de integração é [a,b]=[3,7].
  • Devemos aplicar métodos numéricos (o enunciado não especificou quais), e calcular para n=4 e n=10.

Passo 2

Escolha dos métodos: o enunciado não especificou quais métodos numéricos, então vou usar dois métodos clássicos e esperados em provas de Cálculo Numérico:
  1. Regra composta dos trapézios (Composite Trapezoidal Rule).
  2. Regra composta de Simpson (Composite Simpson’s Rule, Regra de Simpson 1/3).
Vou explicar cada fórmula antes de aplicar, com o que cada símbolo significa.
Regra composta dos trapézios:
  • Dividimos [a,b] em n subintervalos iguais com passo
h=\frac{b-a}{n}.
  • Os nós são x_i=a+i h para i=0,1,\dots,n.
  • A aproximação composta é
T_n=\frac{h}{2}\left(f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)+f(x_n)\right).
Aqui f(x_i) são os valores da função nos nós. Intuição: cada subintervalo é aproximado por o trapézio sob a reta que liga os pontos.
Regra composta de Simpson (válida quando n é par):
  • Mesmos h e nós x_i.
  • A aproximação composta é
S_n=\frac{h}{3}\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{n/2} f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1} f(x_{2k})+f(x_n)\right).
Intuição: em cada par de subintervalos aproximamos por um polinômio quadrático que passa pelos pontos, dá maior precisão (exata para polinômios até grau 3).
Observação útil para esta função: f(x)=3x+4 é uma função linear (polinômio de grau 1). A regra dos trapézios é exata para polinômios de grau até 1. A regra de Simpson é exata para polinômios de grau até 3. Portanto, espero obter o valor exato da integral com ambos os métodos, para qualquer n. Vou demonstrar isso numericamente para n=4 e n=10.

Passo 3

Cálculo analítico (checar resultado exato): primeiro calculemos a integral exatamente para ter referência.
  • Uma primitiva de f é
F(x)=\frac{3}{2}x^2+4x,
pois \displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{2}x^2+4x\right)=3x+4.
  • Avaliando nos extremos:
F(7)=\frac{3}{2}\cdot 7^2+4\cdot 7=\frac{3}{2}\cdot 49+28=73{,}5+28=101{,}5,
F(3)=\frac{3}{2}\cdot 3^2+4\cdot 3=\frac{3}{2}\cdot 9+12=13{,}5+12=25{,}5.
  • Portanto a integral exata é
\int_{3}^{7} 3x+4 \, dx = F(7)-F(3)=101{,}5-25{,}5=76.
Vou agora obter esse mesmo resultado pelos métodos numéricos pedidos.

Passo 4

Trapézio composto com n=4:
  • Calcule h:
h=\frac{7-3}{4}=1.
  • Nós: x_0=3,\; x_1=4,\; x_2=5,\; x_3=6,\; x_4=7.
  • Valores da função f(x)=3x+4:
f(3)=13,\; f(4)=16,\; f(5)=19,\; f(6)=22,\; f(7)=25.
  • Aplicando a fórmula do trapézio composto:
T_4=\frac{1}{2}\big(f(3)+2(f(4)+f(5)+f(6))+f(7)\big).
Substituindo os números:
T_4=\frac{1}{2}\big(13+2(16+19+22)+25\big)=\frac{1}{2}\big(13+2\cdot 57+25\big)=\frac{1}{2}(13+114+25)=\frac{1}{2}\cdot 152=76.
  • Resultado: T_4=76. Isso coincide com o valor exato, como previsto (trapézio é exato para linhares).

Passo 5

Trapézio composto com n=10:
  • Calcule h:
h=\frac{7-3}{10}=0{,}4.
  • Nós gerais: x_i=3+0{,}4 i, para i=0,\dots,10.
  • Para agilizar, note que
\sum_{i=0}^{10} x_i = \sum_{i=0}^{10} \big(3+0{,}4i\big)=11\cdot 3 +0{,}4\sum_{i=0}^{10} i =33+0{,}4\cdot 55=33+22=55.
Como f(x)=3x+4,
\sum_{i=0}^{10} f(x_i)=3\sum_{i=0}^{10} x_i +11\cdot 4=3\cdot 55+44=165+44=209.
  • A fórmula do trapézio composto usa f(x_0)+2\sum_{i=1}^{9} f(x_i)+f(x_{10}). Note que
\sum_{i=1}^{9} f(x_i)=\sum_{i=0}^{10} f(x_i)-f(x_0)-f(x_{10})=209-13-25=171.
  • Portanto
T_{10}=\frac{h}{2}\big(f(x_0)+2\sum_{i=1}^{9} f(x_i)+f(x_{10})\big)=\frac{0{,}4}{2}\big(13+2\cdot 171+25\big).
  • Calcule:
T_{10}=0{,}2\big(13+342+25\big)=0{,}2\cdot 380=76.
  • Resultado: T_{10}=76. Novamente exato.

Passo 6

Simpson composto com n=4:
  • Para Simpson, n deve ser par; n=4 serve. Calcule h:
h=\frac{7-3}{4}=1.
  • Nós: x_0=3,\; x_1=4,\; x_2=5,\; x_3=6,\; x_4=7.
  • A fórmula composta de Simpson:
S_4=\frac{h}{3}\big(f(x_0)+4(f(x_1)+f(x_3))+2(f(x_2))+f(x_4)\big).
  • Substituindo os valores f(3)=13,\; f(4)=16,\; f(5)=19,\; f(6)=22,\; f(7)=25:
S_4=\frac{1}{3}\big(13+4(16+22)+2\cdot 19+25\big)=\frac{1}{3}\big(13+4\cdot 38+38+25\big).
S_4=\frac{1}{3}\big(13+152+38+25\big)=\frac{1}{3}\cdot 228=76.
  • Resultado: S_4=76. Simpson também dá o valor exato.

Passo 7

Simpson composto com n=10:
  • Calcule h:
h=\frac{7-3}{10}=0{,}4.
  • Nós: x_i=3+0{,}4 i, i=0,\dots,10.
  • A fórmula de Simpson (com n=10) é
S_{10}=\frac{h}{3}\Big(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{5} f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{4} f(x_{2k})+f(x_{10})\Big).
  • Como antes, podemos usar que f(x)=3x+4 é linear. Simpson é exata para polinômios até grau 3, logo deve dar o valor exato 76. Para ser explícito, calcularia as somas e obteria:
S_{10}=\frac{0{,}4}{3}\big(\text{combinação linear dos }f(x_i)\big)=76.çã
(Se preferir ver a conta detalhada, é análogo às somas feitas no trapézio: as somas dos f(x_i) são somas aritméticas que levam ao mesmo resultado numérico.)
  • Resultado: S_{10}=76.

Resposta

Trapézio composto, n=4: 76
Trapézio composto, n=10: 76
Simpson composto, n=4: 76
Simpson composto, n=10: 76

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