Calcule as integrais abaixo usando os seguintes métodos de resolução numérica para 4 e para 10 subintervalos.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a integral
usando métodos numéricos com
subintervalos e com
subintervalos. Informações dadas:
- A função integranda é
. - O intervalo de integração é
. - Devemos aplicar métodos numéricos (o enunciado não especificou quais), e calcular para
e .
Passo 2
Escolha dos métodos: o enunciado não especificou quais métodos numéricos, então vou usar dois métodos clássicos e esperados em provas de Cálculo Numérico:
- Regra composta dos trapézios (Composite Trapezoidal Rule).
- Regra composta de Simpson (Composite Simpson’s Rule, Regra de Simpson 1/3).
Vou explicar cada fórmula antes de aplicar, com o que cada símbolo significa.
Regra composta dos trapézios:
- Dividimos
em subintervalos iguais com passo
- Os nós são
para . - A aproximação composta é
Aqui
são os valores da função nos nós. Intuição: cada subintervalo é aproximado por o trapézio sob a reta que liga os pontos.
Regra composta de Simpson (válida quando
é par):
- Mesmos
e nós . - A aproximação composta é
Intuição: em cada par de subintervalos aproximamos por um polinômio quadrático que passa pelos pontos, dá maior precisão (exata para polinômios até grau
).
Observação útil para esta função:
é uma função linear (polinômio de grau
). A regra dos trapézios é exata para polinômios de grau até
. A regra de Simpson é exata para polinômios de grau até
. Portanto, espero obter o valor exato da integral com ambos os métodos, para qualquer
. Vou demonstrar isso numericamente para
e
.
Passo 3
Cálculo analítico (checar resultado exato): primeiro calculemos a integral exatamente para ter referência.
- Uma primitiva de
é
pois
.
- Avaliando nos extremos:
- Portanto a integral exata é
Vou agora obter esse mesmo resultado pelos métodos numéricos pedidos.
Passo 4
Trapézio composto com
:
- Calcule
:
- Nós:
. - Valores da função
:
- Aplicando a fórmula do trapézio composto:
Substituindo os números:
- Resultado:
. Isso coincide com o valor exato, como previsto (trapézio é exato para linhares).
Passo 5
Trapézio composto com
:
- Calcule
:
- Nós gerais:
, para . - Para agilizar, note que
Como
,
- A fórmula do trapézio composto usa
. Note que
- Portanto
- Calcule:
- Resultado:
. Novamente exato.
Passo 6
Simpson composto com
:
- Para Simpson,
deve ser par; serve. Calcule :
- Nós:
. - A fórmula composta de Simpson:
- Substituindo os valores
:
- Resultado:
. Simpson também dá o valor exato.
Passo 7
Simpson composto com
:
- Calcule
:
- Nós:
, . - A fórmula de Simpson (com
) é
- Como antes, podemos usar que
é linear. Simpson é exata para polinômios até grau , logo deve dar o valor exato . Para ser explícito, calcularia as somas e obteria:
(Se preferir ver a conta detalhada, é análogo às somas feitas no trapézio: as somas dos
são somas aritméticas que levam ao mesmo resultado numérico.)
- Resultado:
.
Resposta
Trapézio composto,
:
Trapézio composto, :
Simpson composto, :
Simpson composto, :
Trapézio composto,
Simpson composto,
Simpson composto,