Calcule as integrais abaixo usando a sistema de coordenadas mais conveniente:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! A questão pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com integração em múltiplas dimensões, e o conteúdo principal envolve cálculo de integrais triplas usando coordenadas mais convenientes. Para facilitar, vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para regiões esféricas ou circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. As limitações são:
Essa região descreve um oitante (primeiro octante) de uma esfera de raio 1 centrada na origem. Por isso, coordenadas esféricas são a melhor escolha.
Passo 3
Nas coordenadas esféricas, usamos:
-
: distância da origem -
: ângulo no plano xy -
: ângulo em relação ao eixo z
As relações são:
E o elemento de volume muda para:
Passo 4
Vamos ajustar os limites de integração para coordenadas esféricas:
-
varia de 0 a 1 (raio da esfera) -
varia de 0 a (primeiro octante) -
varia de 0 a (primeiro octante)
Passo 5
Substituindo tudo na integral original:
Simplificando:
Passo 6
Vamos calcular cada parte separadamente.
- Integral em
:
- Integral em
:
Para resolver
, fazemos uma substituição:
Deixe
, então
.
A integral vira:
- Integral em
:
Passo 7
Agora, juntando tudo:
Resposta
O valor da integral é
.