Calcule as integrais abaixo usando a sistema de coordenadas mais conveniente:
integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integral0^raiz1-x^2-y^2 z^2 d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! A questão pede para calcular:
integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integral0^raiz1-x^2-y^2 z^2 , dz , dy , dx
Aqui, estamos lidando com integração em múltiplas dimensões, e o conteúdo principal envolve cálculo de integrais triplas usando coordenadas mais convenientes. Para facilitar, vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para regiões esféricas ou circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. As limitações são:
  • 0 <= x <= 1
  • 0 <= y <= raiz1 - x^2
  • 0 <= z <= raiz1 - x^2 - y^2
Essa região descreve um oitante (primeiro octante) de uma esfera de raio 1 centrada na origem. Por isso, coordenadas esféricas são a melhor escolha.

Passo 3

Nas coordenadas esféricas, usamos:
  • r : distância da origem
  • theta : ângulo no plano xy
  • phi : ângulo em relação ao eixo z
As relações são:
x = r sin phi cos theta
y = r sin phi sin theta
z = r cos phi
E o elemento de volume muda para:
dV = r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta

Passo 4

Vamos ajustar os limites de integração para coordenadas esféricas:
  • r varia de 0 a 1 (raio da esfera)
  • theta varia de 0 a pi2 (primeiro octante)
  • phi varia de 0 a pi2 (primeiro octante)

Passo 5

Substituindo tudo na integral original:
integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integral0^raiz1-x^2-y^2 z^2 , dz , dy , dx = integral0^1 integral0^pi2 integral0^pi2 (r cos phi)^2 cdot r^2 sin phi , dphi , dtheta , dr
Simplificando:
= integral0^1 r^4 , dr integral0^pi2 cos^2 phi sin phi , dphi integral0^pi2 dtheta

Passo 6

Vamos calcular cada parte separadamente.
  1. Integral em r :
integral0^1 r^4 , dr = [ r^55 ]0^1 = 15
  1. Integral em phi :
Para resolver integral0^pi2 cos^2 phi sin phi , dphi , fazemos uma substituição:
Deixe u = cos phi , então du = -sin phi , dphi .
A integral vira:
integral1^0 u^2 (-du) = integral0^1 u^2 , du = [ u^33 ]0^1 = 13
  1. Integral em theta :
integral0^pi2 dtheta = pi2

Passo 7

Agora, juntando tudo:
15 times 13 times pi2 = pi30

Resposta

O valor da integral é dfracpi30.

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