Considerando o domínio de discurso U = Z, determine se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta, demonstrando a afirmação ou sua negação, dependendo do caso.
∃m(∀n(n+m)) é par ))

Passo 1

Vamos entender o enunciado: estamos trabalhando com o conjunto dos números inteiros ( Z). A afirmação diz que existe um número inteiro m tal que, para todo número inteiro n, a soma é par. Vamos descobrir se isso é verdade ou falso.

Passo 2

Primeiro, lembramos que um número é par se ele pode ser escrito como , onde k é um inteiro. Então, queremos que seja igual a para algum inteiro k, independente de n.

Passo 3

Vamos supor que exista um m que satisfaça a condição. Ou seja, para todo n em Z, é par.

Passo 4

Vamos testar com n sendo par. Se n é par, então para algum k. Substituindo na soma:
Para que isso seja par, m também precisa ser par (porque a soma de dois pares é par).

Passo 5

Agora, vamos testar com n sendo ímpar. Se n é ímpar, então para algum k. Substituindo na soma:
Se m é par, digamos , então:
Isso resulta em um número ímpar, já que é par e adicionando 1 torna ímpar.

Passo 6

Chegamos a uma contradição: se m é par, é par apenas quando n é par, mas ímpar quando n é ímpar. Portanto, não existe um m que faça ser par para todos os n em Z.

Resposta

Falso.

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