Considerando o domínio de discurso
, determine se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta, demonstrando a afirmação ou sua negação, dependendo do caso.
é par
Passo 1
Vamos entender o enunciado: estamos trabalhando com o conjunto dos números inteiros (
). A afirmação diz que existe um número inteiro
tal que, para todo número inteiro
, a soma
é par. Vamos descobrir se isso é verdade ou falso.
Passo 2
Primeiro, lembramos que um número é par se ele pode ser escrito como
, onde
é um inteiro. Então, queremos que
seja igual a
para algum inteiro
, independente de
.
Passo 3
Vamos supor que exista um
que satisfaça a condição. Ou seja, para todo
,
é par.
Passo 4
Vamos testar com
sendo par. Se
é par, então
para algum
. Substituindo na soma:
Para que isso seja par,
também precisa ser par (porque a soma de dois pares é par).
Passo 5
Agora, vamos testar com
sendo ímpar. Se
é ímpar, então
para algum
. Substituindo na soma:
Se
é par, digamos
, então:
Isso resulta em um número ímpar, já que
é par e adicionando 1 torna ímpar.
Passo 6
Chegamos a uma contradição: se
é par,
é par apenas quando
é par, mas ímpar quando
é ímpar. Portanto, não existe um
que faça
ser par para todos os
em
.
Resposta
Falso.