Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integrall(sin x + tfracx^2raiz1+x^2r),dx. O conteúdo principal envolve integração de soma de funções e substituição trigonométrica para tratar de expressões com raiz1+x^2.

Passo 2

Usamos a linearidade da integral para separar em duas partes:
integralsin x,dx + integralx^2raiz1+x^2,dx

Passo 3

A primeira integral é direta. Sabendo que ddx(cos x) = -sin x, segue:
integralsin x,dx = -cos x + C1

Passo 4

Para tratar integralx^2raiz1+x^2,dx, aplicamos a substituição trigonométrica:
x = tantheta, dx = sec^2theta,dtheta, raiz1+x^2 = sectheta
Assim,
x^2raiz1+x^2,dx = tan^2thetasecthetasec^2theta,dtheta = (sec^2theta-1)sectheta,dtheta = sec^3theta - sectheta

Passo 5

Agora integramos em θ:
integral(sec^3theta - sectheta),dtheta = integralsec^3theta,dtheta - integralsectheta,dtheta
Usamos as fórmulas conhecidas:
integralsectheta,dtheta = ln|sectheta + tantheta| + C2
integralsec^3theta,dtheta = 12(secthetatantheta + ln|sectheta + tantheta|) + C3
Fazendo a diferença, resulta
12secthetatantheta - 12ln|sectheta + tantheta| + C4

Passo 6

Voltando à variável x, com sectheta = raiz1+x^2 e tantheta = x, concluímos para a segunda parte:
integralx^2raiz1+x^2,dx = 12,xraiz1+x^2 - 12lnl|x+raiz1+x^2r| + C4

Resposta

-\cos x + \frac{x}{2}\sqrt{1+x^2} - \frac12\ln\bigl|x+\sqrt{1+x^2}\bigr| + C

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