Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral . O conteúdo principal envolve integração de soma de funções e substituição trigonométrica para tratar de expressões com .
Passo 2
Usamos a linearidade da integral para separar em duas partes:
Passo 3
A primeira integral é direta. Sabendo que , segue:
Passo 4
Para tratar , aplicamos a substituição trigonométrica:
Assim,
Passo 5
Agora integramos em θ:
Usamos as fórmulas conhecidas:
Fazendo a diferença, resulta
Passo 6
Voltando à variável x, com e , concluímos para a segunda parte:
Resposta
-\cos x + \frac{x}{2}\sqrt{1+x^2} - \frac12\ln\bigl|x+\sqrt{1+x^2}\bigr| + C