Encontre o raio e o intervalo de convergência das séries
sumn=1^infty (-1)^n-1(-x)^nn^3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o raio e o intervalo de convergência da série de potências em torno de zero
sumn=1^infty (-1)^n-1(-x)^nn^3
O conteúdo aqui é análise de convergência de séries de potências, e vamos precisar usar o teste da razão para achar o raio e depois testar os extremos x=pm1.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão. Definimos
an = (-1)^n-1(-x)^nn^3
Então
|an+1an| = |(-1)^n(-x)^n+1/(n+1)^3(-1)^n-1(-x)^n/n^3| = |x|(nn+1)^3
Fazendo ntoinfty, temos
limntoinfty|an+1an| = |x|

Passo 3

Pelo teste da razão, a série converge absolutamente se |x|<1 e diverge se |x|>1. Portanto, o raio de convergência é
R = 1

Passo 4

Ainda precisamos checar as extremidades:
  • Para x=1: a série vira
sumn=1^infty (-1)^n-1(-1)^nn^3 = -sumn=1^infty 1n^3,
que converge absolutamente por ser série-p com p=3>1.
  • Para x=-1: a série vira
sumn=1^infty (-1)^n-1(-(-1))^nn^3 = sumn=1^infty (-1)^n-1n^3,
que converge por critério de Leibniz (termos decrescentes em módulo e tendendo a zero).
Como em ambas as extremidades há convergência, o intervalo de convergência é fechado.

Resposta

Raio de convergência R=1. Intervalo de convergência: [-1,1].

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