Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:
integral d xraiz3 x^2+2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral dxraiz3x^2+2 usando substituição trigonométrica. O conteúdo aqui é integrar uma função do tipo 1raizax^2+b, e vamos precisar usar uma substituição que transforme essa raiz em uma razão trigonométrica.

Passo 2

Reconhecemos que 3x^2+2 tem a forma a x^2 + b com a=3 e b=2. Usamos a substituição x=raiztfrac23,tantheta. Assim,
x=raiztfrac23,tanthetaLongrightarrow dx=raiztfrac23,sec^2theta,dtheta
Com essa escolha, a expressão dentro da raiz fica
3x^2+2=3l(tfrac23tan^2thetar)+2=2tan^2theta+2=2sec^2theta

Passo 3

Então a integral original se transforma em
integral dxraiz3x^2+2=integral raiztfrac23,sec^2theta,dthetaraiz2sec^2theta
Como raiz2sec^2theta=raiz2,|sectheta| e, para a faixa de theta que consideramos (depois voltaremos ao x), podemos tomar sectheta>0. Assim,
integral raiztfrac23,sec^2thetaraiz2,sectheta,dtheta=raiztfrac23,1raiz2integral sectheta,dtheta=1raiz3integral sectheta,dtheta

Passo 4

Sabemos que integral sectheta,dtheta=lnl|sectheta+tanthetar|+C. Portanto,
1raiz3integral sectheta,dtheta=1raiz3lnl|sectheta+tanthetar|+C

Passo 5

Agora voltamos para x. Da substituição x=raiztfrac23tantheta temos tantheta=raiztfrac32x. E como sec^2theta=1+tan^2theta,
sectheta=raiz1+tan^2theta=raiz1+tfrac3x^22=raiz3x^2+2raiz2

Passo 6

Substituindo em ln|sectheta+tantheta| resulta
lnl|raiz3x^2+2raiz2+raiztfrac32xr|=lnl|raiz3x^2+2+raiz3,xraiz2r|

Passo 7

Como lnl|A/raiz2r|=ln|A|-tfrac12ln2 e essa constante pode ser absorvida em C, obtemos o resultado final.

Resposta

integral dxraiz3x^2+2=1raiz3lnl|raiz3x^2+2+raiz3,xr|+C

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