Encontre o raio e o intervalo de convergência das séries
(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(x+2){n}}{3{n+1}}\

Passo 1

O exercício pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty n(x+2)^n3^n+1. Como a série está em torno de x0=-2, vamos tratar isso como um problema de série de potências e usar o teste da razão.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, escrevemos o termo geral an=n(x+2)^n3^n+1 e calculamos
|an+1an| = n+1n cdot |x+2|3

Passo 3

Agora tomamos o limite quando ntoinfty:
limntoinfty |an+1an| = |x+2|3
A condição de convergência pelo teste da razão é |x+2|3<1, isto é |x+2|<3. Dessa desigualdade obtemos
-3

Passo 4

Ficou claro que o raio de convergência é R=3. Agora testamos os extremos do intervalo [-5,1]:
Em x=-5, temos x+2=-3 e a série vira
sumn=1^infty n(-3)^n3^n+1 = 13sumn=1^infty n(-1)^n
Como n(-1)^n não tende a zero, diverge.

Passo 5

Em x=1, temos x+2=3 e a série vira
sumn=1^infty n,3^n3^n+1 = 13sumn=1^infty n,
que também diverge porque os termos n não tendem a zero. Portanto os extremos não entram no intervalo.

Passo 6

Concluímos que o intervalo de convergência é aberto: (-5,1).

Resposta

O raio de convergência é R=3 e o intervalo de convergência é (-5,1).

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