Exercício 6 Considere um polinômio p(s)=a0+a1 s+ldots an s^n e o operador diferencial
p(f)=a0 f+a1 f^(1)+ldots an f^(n)
definido para funções analíticas.
(a) Mostre que p é um operador linear.
(a) Prove que p(lambda)=0. Em particular, se e^lambda z, então p(f)=0 é solução da equação diferencial p(z f)=z p(f)+p^prime(f).
© Mostre que lambda. Assim, se p é uma raíz de ordem 2 do polinômio j in0, ldots, k-1, então d^nd z^n(p(f))=p(d^nd z^n(f)) , para cada p(s)=p1(s) p2(s).
(d) Mostre que
p(f)=p1(p2(f))=p2(p1(f))
Conclua que se p(s)=(s-lambda1)^k1 cdot ldots cdot(s-lambdan)^kn (produto de dois polinômios), então
lambdai neq lambdaj, i neq k
(e) Suponha
kj >= 1
tal que f(z)=sumj=1^n(sumell=0^kj-1 cell j z^ell e^lambdaj z) , e p(f)=0. Mostre que toda função da forma
p(s)
é solução de >= 1.
(f) Suponha que z0 in C tem grau p(f)=0. Dado f(z0)=f^(1)(z0)=ldots f^(m-1)(z0)=0 , mostre que a única solução analítica da equação p(f) que satisfaz
f(z0)=c0, f^(1)(z0)=c1, ldots f^(m-1)(z0)=cm-1
é a função identicamente nula. Conclua que ck possui única solução satisfazendo
m
sendo f1, ldots, fm constantes dadas.
(g) Dadas W(z)=det doteq[ccc f1(z) & cdots & fm(z) f2^(1)(z) & cdots & f2^(1)(z) vdots & ddots & vdots f1^(m-1)(z) & ldots & fm^(m-1)(z) ] funçôes analítcas f1, ldots, fm defina
p(f)=0
Mostre que se W(z)=e^-am-1(z-z0) W(z0) são soluções de p, então
f1, ldots, fm
(h) Sejam c0, c1, cm-1 e p(f)=0 como acima. Suponha f=b1 f1+ldots bm fm . Prove que, dados f(z0)=c0, f^(1)(z0)=c1, ldots f^(m-1)(z0)=cm-1 , existe única solução da equação p(s)=(s-lambda1)^k1 cdot ldots cdot(s-lambdan)^kn da forma
lambdai neq lambdaj, i neq k
tal que
kj >= 1
(i) Suponha
p(f)=0
tal que , e . Prove que as soluções de são da forma (1).

Passo 1

O exercício trata de um operador diferencial definido por um polinômio p(s)=a0+a1s+cdots+ans^n, que age em funções analíticas como p(f)=a0f+a1f^(1)+cdots+anf^(n). Vamos usar propriedades básicas de derivação, regra de Leibniz e teoria de EDOs lineares de ordem m=deg p.

Passo 2

Como a soma de derivadas e a derivação em si são operações lineares, para quaisquer constantes alpha,beta e funções f,g temos
p(alpha f+beta g)=a0(alpha f+beta g)+cdots+an(alpha f+beta g)^(n)=alpha p(f)+beta p(g)

Passo 3

Seja f(z)=e^lambda z. Como
d^kdz^ke^lambda z=lambda^k e^lambda z,
então
p(f)=sumk=0^n aklambda^k e^lambda z=p(lambda)e^lambda z
Logo, se p(lambda)=0 então p(e^lambda z)=0.

Passo 4

Pela regra de Leibniz
d^ndz^n(z f)=z f^(n)+n f^(n-1)
Multiplicando por an e somando em n=0,dots,N obtemos
p(zf)=z p(f)+sumn=1^n n an f^(n-1)=z p(f)+p'(f)
Se lambda é raiz de ordem k de p, então p^(j)(lambda)=0 para j. Por indução segue que p(z^j e^lambda z)=0 para j=0,dots,k-1.

Passo 5

Para qualquer m,
d^mdz^ml(p(f)r)=sumk=0^n ak f^(k+m)=pl(f^(m)r)
Isto mostra que o operador p comuta com derivação de qualquer ordem e, em particular, se p=p1p2 então
$$
p_1\bigl(p_2(f)\bigr)=p_2\bigl(p_1(f)\bigr).$$

Passo 6

Separamos
p(s)=prodj=1^n(s-lambdaj)^kj,
com lambdai distintos. Pelos itens (b) e ©, cada z^ell e^lambdaj z (com 0<=ell) satisfaz p(f)=0. Assim qualquer combinação linear
f(z)=sumj=1^nsumell=0^kj-1cell jz^ell e^lambdaj z
é solução.

Passo 7

Como p(f)=0 é uma EDO linear homogênea de ordem m=deg p, o teorema de existência e unicidade diz que a única solução com
f(z0)=f'(z0)=cdots=f^(m-1)(z0)=0
é a solução trivial fequiv0. Logo para quaisquer c0,dots,cm-1 existe única solução com essas condições iniciais.

Passo 8

Chamando de f1,dots,fm soluções de p(f)=0, definimos o Wronskiano
W(z)=detf1&cdots&fmf1'&cdots&fm'vdots&&vdotsf1^(m-1)&cdots&fm^(m-1)
Derivando a última linha e somando às anteriores (usando p(fi)=0) mostra-se que
W'(z)=-am-1W(z)
e, integrando,
W(z)=e^-am-1(z-z0)W(z0)

Passo 9

Se W(z0)neq0, a matriz do sistema linear que determina os coeficientes bi em
f=b1f1+cdots+bmfm
a partir de f^(k)(z0)=ck é invertível, garantindo existência única de (b1,dots,bm).

Passo 10

Concluímos que o espaço de soluções de p(f)=0 tem dimensão m e é gerado pelas funções

Resposta

Toda solução de p(f)=0 é da forma
f(z)=sumj=1^nsumell=0^kj-1cell jz^elle^lambdaj z,
com constantes cell j.

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