Conclua que se (produto de dois polinômios), então
(e) Suponha
tal que , e . Mostre que toda função da forma
é solução de .
(f) Suponha que tem grau . Dado , mostre que a única solução analítica da equação que satisfaz
é a função identicamente nula. Conclua que possui única solução satisfazendo
sendo constantes dadas.
(g) Dadas funçôes analítcas defina
Mostre que se W(z)=e^-am-1(z-z0) W(z0) são soluções de p, então
f1, ldots, fm
(h) Sejam c0, c1, cm-1 e p(f)=0 como acima. Suponha f=b1 f1+ldots bm fm . Prove que, dados f(z0)=c0, f^(1)(z0)=c1, ldots f^(m-1)(z0)=cm-1 , existe única solução da equação p(s)=(s-lambda1)^k1 cdot ldots cdot(s-lambdan)^kn da forma
lambdai neq lambdaj, i neq k
tal que
kj >= 1
(i) Suponha
p(f)=0
tal que , e . Prove que as soluções de são da forma (1).
Passo 1
O exercício trata de um operador diferencial definido por um polinômio p(s)=a0+a1s+cdots+ans^n, que age em funções analíticas como p(f)=a0f+a1f^(1)+cdots+anf^(n). Vamos usar propriedades básicas de derivação, regra de Leibniz e teoria de EDOs lineares de ordem m=deg p.
Passo 2
Como a soma de derivadas e a derivação em si são operações lineares, para quaisquer constantes alpha,beta e funções f,g temos
Como p(f)=0 é uma EDO linear homogênea de ordem m=deg p, o teorema de existência e unicidade diz que a única solução com f(z0)=f'(z0)=cdots=f^(m-1)(z0)=0
é a solução trivial fequiv0. Logo para quaisquer c0,dots,cm-1 existe única solução com essas condições iniciais.
Passo 8
Chamando de f1,dots,fm soluções de p(f)=0, definimos o Wronskiano