Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica.
integral0^2 x^2raiz16-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral0^2x^2raiz16 - x^2,dx.
O conteúdo é integração por substituição trigonométrica: usar a transformação que simplifica expressões do tipo raiza^2-x^2.

Passo 2

Fazemos a substituição x = 4sintheta, daí dx = 4costheta,dtheta e
raiz16 - x^2 = 4costheta
Os limites mudam: para x=0, theta=0; para x=2, sintheta=tfrac12 então theta=tfracpi6.

Passo 3

Substituindo no integrando:
x^2raiz16-x^2,dx = (4sintheta)^24costheta,(4costheta,dtheta) =16sin^2theta,dtheta
Logo a integral vira
integral0^pi/616sin^2theta,dtheta

Passo 4

Para integrar sin^2theta, usamos a identidade
sin^2theta=1-cos(2theta)2
Então
integral0^pi/616sin^2theta,dtheta =16integral0^pi/61-cos(2theta)2,dtheta =8integral0^pi/6(1-cos(2theta)),dtheta =8l[theta-tfracsin(2theta)2r]0^pi/6

Passo 5

Avaliando em theta=pi/6 e theta=0 obtemos
8l(tfracpi6-tfracsin(pi/3)2r) =8l(tfracpi6-tfracraiz34r) =4pi3-2raiz3

Resposta

4pi3-2raiz3

Exercícios relacionados