Determinar o vetor gradiente e a diferencial das funções a seguir nos pontos dados.
z=x raizx^2+y^2 ; se P(1,1).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
z = x raizx^2 + y^2
e pede o vetor gradiente nabla z e a diferencial total dz no ponto P(1,1). Vamos usar definição de derivadas parciais para obter nabla z=(partial z/partial x,;partial z/partial y) e depois escrever dz=partial z/partial x,dx+partial z/partial y,dy.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais. Como
z = x,(x^2+y^2)^1/2,
temos por produto e cadeia:
partial zpartial x = raizx^2+y^2 + x cdot 12(x^2+y^2)^-1/2cdot 2x = raizx^2+y^2+x^2raizx^2+y^2 = 2x^2+y^2raizx^2+y^2,
partial zpartial y = x cdot 12(x^2+y^2)^-1/2cdot 2y = xyraizx^2+y^2

Passo 3

Avaliar em P(1,1). Aqui raiz1^2+1^2=raiz2. Logo
partial zpartial x|(1,1) = 2cdot1^2+1^2raiz2 = 3raiz2, partial zpartial y|(1,1) = 1cdot1raiz2 = 1raiz2

Passo 4

O vetor gradiente e a diferencial no ponto P(1,1) são, respectivamente,
nabla z(1,1) = l(3raiz2,,1raiz2r), dz = 3raiz2,dx + 1raiz2,dy

Resposta

nabla z(1,1) = l(tfrac3raiz2,tfrac1raiz2r)
dz = tfrac3raiz2,dx + tfrac1raiz2,dy

Exercícios relacionados