Calcule as seguintes integrais
integral e^raizx-2 cos (raizx-1)raizx,dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral e^raizx-2,cos(raizx-1)raizx,dx
O conteúdo é integração por substituição seguido de integração por partes em uma integral do tipo integral e^ucos u,du.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = raizx-1,
de modo que
raizx=u+1, x=(u+1)^2, dx = 2(u+1),du
Substituindo no integrando:
e^raizx-2cos(raizx-1)raizx,dx = e^u+1-2cos uu+1;2(u+1),du = 2e^u-1cos u,du

Passo 3

Note que
2e^u-1cos u = 2e^-1,e^ucos u,
portanto
integral e^raizx-2cos(raizx-1)raizx,dx = 2e^-1integral e^ucos u,du
Para calcular I=integral e^ucos u,du, use integração por partes duas vezes:
  1. Seja a=cos u e db=e^u,du. Então I = e^ucos u - integral (-sin u),e^u,du = e^ucos u + integral e^usin u,du
  2. Defina J=integral e^usin u,du e faça partes com p=sin u, dq=e^u,du: J = e^usin u - integral e^ucos u,du = e^usin u - I
  3. Substituindo de volta: I = e^ucos u + J = e^ucos u + e^usin u - I ;Longrightarrow; 2I = e^u(cos u + sin u) ;Longrightarrow; I = e^u2l(sin u + cos ur)

Passo 4

Voltando à integral original:
2e^-1integral e^ucos u,du = 2e^-1cdot e^u2l(sin u+cos ur) + C = e^-1e^ul(sin u+cos ur) + C
Substituindo u=raizx-1:
e^-1e^raizx-1l(sin(raizx-1)+cos(raizx-1)r) = e^raizx-2l(sin(raizx-1)+cos(raizx-1)r)+C

Resposta

integral e^raizx-2cos(raizx-1)raizx,dx = e^raizx-2l(sin(raizx-1)+cos(raizx-1)r) + C

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