Resolva as equações diferenciais lineares de segunda ordem com x=0 como ponto ordinário:
y^prime prime+x^2 y^prime+2 x y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver
y'' + x^2y' + 2xy = 0
por séries de potências ao redor de x=0, que é ponto ordinário. Vamos usar o método de séries (Frobenius com expoente r=0), isto é, supor
y=sumn=0^inftyanx^n

Passo 2

Calcular as derivadas em série e substituir na equação:
y'=sumn=1^inftyn,anx^n-1, y''=sumn=2^inftyn(n-1)anx^n-2
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sumn=2^inftyn(n-1)anx^n-2 + x^2sumn=1^inftyn,anx^n-1 +2xsumn=0^inftyanx^n =0

Passo 3

Reindexando para obter potências x^m iguais:
summ=0^infty(m+2)(m+1)am+2x^m +summ=2^infty(m-1)am-1x^m +summ=1^infty2,am-1x^m =0
Para m=0 só aparece o primeiro somatório, dando
2cdot1,a2=0 ;;Longrightarrow;; a2=0
Para m>=1 somamos os coeficientes de x^m e obtém-se
(m+2)(m+1)am+2+(m-1)am-1+2am-1=0 ;;Longrightarrow;; am+2=-am-1m+2

Passo 4

Usando a2=0 e a relação de recorrência, determinamos alguns coeficientes em função de a0 e a1:
a3=-a03,; a4=-a14,; a5=-a25=0,; a6=-a36=a018,; a7=-a47=a128,dots

Passo 5

Reconhecemos duas soluções independentes ao escolher (a0,a1)=(1,0) e (0,1). Assim:
y1(x)=1-tfrac13x^3+tfrac118x^6-tfrac1162x^9+cdots,
y2(x)=x-tfrac14x^4+tfrac128x^7-tfrac1280x^10+cdots

Passo 6

A solução geral é combinação linear:
y(x)=C1,y1(x)+C2,y2(x)

Resposta

y(x)=C1l(1-tfrac13x^3+tfrac118x^6-cdotsr) +C2l(x-tfrac14x^4+tfrac128x^7-cdotsr)

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