Resolva as equações diferenciais lineares de segunda ordem
como ponto ordinário:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem
em torno de
, que é um ponto ordinário. Vamos usar a técnica de série de potências centrada em
.
Passo 2
Assumimos a solução na forma de série de potências
Então
Substituindo em
e agrupando as potências de
, obtemos a relação de recorrência
Passo 3
Da recorrência vemos que os coeficientes separam-se em dois grupos:
- Índices pares:
. Deste caso puxamos
o que leva a
- Índices ímpares:
. Temos
de onde
Passo 4
Agora escrevemos as duas soluções independentes como séries:
Usando soma de séries geradoras, chega-se às formas fechadas
onde
é outra constante arbitrária.
Resposta
A solução geral é
com
constantes.