Resolva as equações diferenciais lineares de segunda ordem com x=0 como ponto ordinário:
(x^2-1) y^prime prime+8 x y^prime+12 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem
(x^2 - 1),y'' + 8x,y' + 12,y = 0
em torno de x=0, que é um ponto ordinário. Vamos usar a técnica de série de potências centrada em x=0.

Passo 2

Assumimos a solução na forma de série de potências
y(x) = sumn=0^infty an,x^n
Então
y'(x) = sumn=1^infty n,an,x^n-1, y''(x) = sumn=2^infty n(n-1),an,x^n-2
Substituindo em (x^2-1)y'' +8x,y' +12y=0 e agrupando as potências de x, obtemos a relação de recorrência
am+2 ;=;(m+3)(m+4)(m+1)(m+2),am, m=0,1,2,dots

Passo 3

Da recorrência vemos que os coeficientes separam-se em dois grupos:
  • Índices pares: m=2k. Deste caso puxamos
a2k+2 = (2k+3)(2k+4)(2k+1)(2k+2),a2k,
o que leva a
a2k = a0,(k+1)(2k+1)
  • Índices ímpares: m=2k+1. Temos
a2k+3 = (2k+4)(2k+5)(2k+2)(2k+3),a2k+1,
de onde
a2k+1 = a1,(k+1)(2k+3)3

Passo 4

Agora escrevemos as duas soluções independentes como séries:
y1(x)=sumk=0^infty a2k,x^2k =;a0sumk=0^infty (k+1)(2k+1),x^2k,
y2(x)=sumk=0^infty a2k+1,x^2k+1 =;a1sumk=0^infty (k+1)(2k+3)3,x^2k+1
Usando soma de séries geradoras, chega-se às formas fechadas
y1(x) = a0,1+3x^2(1-x^2)^3, y2(x) = C2,x,(3+x^2)(1-x^2)^3,
onde C2=a1/3 é outra constante arbitrária.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C1,1+3x^2(1-x^2)^3 ;+; C2,x,(3+x^2)(1-x^2)^3,
com C1,C2 constantes.

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