Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:
integral d t(t-1)^2 raiz(t-1)^2-9

Passo 1

Temos a integral
integral d t(t-1)^2 raiz(t-1)^2-9
O conteúdo aqui é uma raiz da forma raizu^2-a^2, então vamos usar substituição trigonométrica. Para simplificar, também faremos uma mudança de variável inicial.

Passo 2

Fazendo u = t-1, temos d u = d t e a integral vira
integral d uu^2raizu^2-9
Agora o integrando está em termos de u, com a raiz raizu^2-3^2.

Passo 3

Para lidar com raizu^2-3^2, usamos a substituição
u = 3sectheta, d u = 3secthetatantheta,dtheta, raizu^2-9 = 3tantheta

Passo 4

Substituindo na integral:
integral 3secthetatantheta,dtheta(3sectheta)^2,(3tantheta) = integral 3secthetatantheta9sec^2theta,3tantheta,dtheta = integral 19costheta,dtheta

Passo 5

Integrando em theta:
integral 19costheta,dtheta = 19sintheta + C

Passo 6

Voltando para u: sabemos que
sintheta = tanthetasectheta = raizu^2-93u3 = raizu^2-9u
Então o resultado em u é
19 cdot raizu^2-9u + C
E finalmente voltamos para t usando u = t-1.

Resposta

raiz(t-1)^2-99,(t-1) + C

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