Exercício 6 Um par de vetores e pertencentes ao é dito linearmetne independente se a única solução da equação for .
Mostre que é um par linearmetne independente se, e somente se,
Reescreva esse resultado no caso de 3 vetores em R^n.
Reescreva esse resultado no caso de vetores em .
Passo 1
O exercício pede para relacionar independência linear de vetores com determinantes, primeiro em R^2, depois generalizar para R^3 e finalmente para R^n. O conteúdo envolve definição de independência linear e propriedades de sistemas lineares homogêneos (teorema de que um sistema homogêneo tem só a solução trivial se o determinante da matriz de coeficientes for não nulo). Vamos usar isso para concluir.
Passo 2
Começando pelo caso em R^2: dizer que x=(x1,x2) e y=(y1,y2) são linearmente independentes significa que a única solução de
alpha x + beta y = 0
é alpha=beta=0. Escrevendo em coordenadas isso vira o sistema homogêneo
x1alpha + y1beta = 0, x2alpha + y2beta = 0
Pelo teorema de sistemas lineares, esse sistema só tem a solução trivial se e só se o determinante da matriz dos coeficientes for não nulo. A matriz é
x1 & y1 x2 & y2
e seu determinante é
det = x1y2 - x2y1
Logo, independência linear iffx1y2 - x2y1 neq 0, que é o que queríamos.
Passo 3
Para três vetores x,y,z em R^3, o raciocínio é análogo: escrever alpha x+beta y+gamma z=0 leva a um sistema homogêneo 3×3. Ele só tem solução trivial alpha=beta=gamma=0 se e só se o determinante da matriz formada por x,y,z como colunas (ou linhas) for diferente de zero. Assim, x,y,z são linearmente independentes iff
|x1 & y1 & z1 x2 & y2 & z2 x3 & y3 & z3| neq 0
Passo 4
O caso geral em R^n segue o mesmo padrão: dado um conjunto de n vetores v1,dots,vn, a condição de independência linear é que a única solução do sistema homogêneo
alpha1 v1 + cdots + alphan vn = 0
seja alpha1=cdots=alphan=0. Isso ocorre exatamente quando o determinante da matriz ntimes n que tem esses vetores como colunas (ou linhas) for não nulo. Portanto: