Encontre a série de Maclaurin de cada função dada a seguir:
3^x+1

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin da função f(x)=3^x+1. O conteúdo envolve séries de Potências e, em particular, a expansão de Taylor (Maclaurin) para exponenciais. Vamos usar a definição de série de Maclaurin e a série conhecida de e^x.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a base 3 em termos da base natural e. Como 3^x+1=3,3^x e 3^x=e^x,ln3, temos
f(x)=3^x+1=3,e^x,ln3

Passo 3

Sabemos que a série de Maclaurin de e^u é
e^u=sumn=0^infty u^nn!

Passo 4

Substituindo u=x,ln3 na série acima, obtemos
e^x,ln3=sumn=0^infty (x,ln3)^nn! = sumn=0^infty (ln3)^nn!x^n

Passo 5

Finalmente, multiplicamos por 3 para retomar f(x)=3,e^x,ln3, ficando
f(x)=sumn=0^infty 3,(ln3)^nn!,x^n

Resposta

A série de Maclaurin de 3^x+1 é sumn=0^infty 3,(ln3)^nn!,x^n.

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