Encontre a série de Maclaurin de cada função dada a seguir:

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de ln(1+x^2). Esse conteúdo é sobre expansão em potências centrada em zero, e a gente vai precisar da série básica de ln(1+u).

Passo 2

Lembra daquela série de logaritmo? Para |u|<1 temos
ln(1+u)=sumn=1^infty(-1)^n-1u^nn
Isso vem da definição de série de Taylor de ln(1+u) em torno de u=0.

Passo 3

No nosso caso, é só colocar u=x^2. Substituindo na fórmula acima:
ln(1+x^2)=sumn=1^infty(-1)^n-1(x^2)^nn =sumn=1^infty(-1)^n-1x^2nn

Passo 4

Para ficar mais claro, os primeiros termos dessa série são
x^2-x^42+x^63-x^84+cdots

Resposta

sumn=1^infty(-1)^n-1x^2nn

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