Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:
integral x^3raiz16-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular integral x^3raiz16 - x^2,dx usando substituição trigonométrica, um tema de cálculo integral que envolve substituir x por uma função trigonométrica para eliminar a raiz. Vamos precisar da substituição x = 4sintheta, da expressão para dx e da relação raiz16 - x^2.

Passo 2

Fazendo a substituição x = 4sintheta:
dx = 4costheta,dtheta
e
raiz16 - x^2 = raiz16 - 16sin^2theta = 4costheta

Passo 3

Substituindo na integral original:
integral x^3raiz16 - x^2,dx = integral (4sintheta)^34costhetacdot(4costheta),dtheta = integral 64sin^3theta,dtheta

Passo 4

Para integrar 64integral sin^3theta,dtheta, usamos sin^3theta=sintheta(1-cos^2theta) e a substituição u=costheta, du=-sintheta,dtheta:
64integral sin^3theta,dtheta = -64integral (1 - u^2),du = -64l(u - u^33r) + C

Passo 5

Voltando a theta:
u=costheta, -64l(costheta - cos^3theta3r)+C = -64costheta + 643cos^3theta + C

Passo 6

Expressando em função de x, note que costheta = raiz16 - x^24 e cos^3theta=(16 - x^2)^3/264. Assim:
-64cdotraiz16 - x^24 + 643cdot(16 - x^2)^3/264 + C = -16raiz16 - x^2 + 13(16 - x^2)^3/2 + C

Resposta

(16 - x^2)^3/23 - 16raiz16 - x^2 + C

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