Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:
integral d tt^4 raiz4+t^2

Passo 1

Aqui a ideia é calcular a integral integral dtt^4raiz4+t^2 usando substituição trigonométrica para eliminar a raiz quadrada. Vamos usar a substuição t=2tantheta, pois aí raiz4+t^2=2sectheta.

Passo 2

Com t=2tantheta temos
dt=2sec^2theta,dtheta,
t^4=(2tantheta)^4=16tan^4theta,
raiz4+t^2=2sectheta
Substituindo na integral,
integraldtt^4raiz4+t^2=integral2sec^2theta,dtheta16tan^4thetacdot2sectheta =116integralsec^2thetatan^4thetasectheta,dtheta =116integralsecthetatan^4theta,dtheta

Passo 3

Agora escrevemos tudo em sin e cos:
secthetatan^4theta=1/costheta(sintheta/costheta)^4=cos^3thetasin^4theta
Logo a integral vira
116integralcos^3thetasin^4theta,dtheta =116integralcosthetal(sin^-4theta-sin^-2thetar),dtheta
Fazendo u=sintheta, du=costheta,dtheta, ficamos com
116integral(u^-4-u^-2),du

Passo 4

Integramos em u:
integral u^-4du=u^-3-3, integral u^-2du=u^-1-1
Então
116l(-13u^3+1ur)+C =116u-148u^3+C

Passo 5

Por fim, voltamos para t: como u=sintheta=traiz4+t^2,
$$
\frac1u=\frac{\sqrt{4+t^2}}t,
\frac1{u3}=\frac{(4+t2){3/2}}{t3}.
1u=raiz4+t^2t, 1u^3=(4+t^2)^3/2t^3
\frac{(t2-2)\sqrt{4+t2}}{24,t^3}+C.
$$

Resposta

(t^2-2)raiz4+t^224,t^3+C

Exercícios relacionados