Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:
Passo 1
Aqui a ideia é calcular a integral
usando substituição trigonométrica para eliminar a raiz quadrada. Vamos usar a substuição
, pois aí
.
Passo 2
Com
temos
Substituindo na integral,
Passo 3
Agora escrevemos tudo em
e
:
Logo a integral vira
Fazendo
,
, ficamos com
Passo 4
Integramos em
:
Então
Passo 5
Por fim, voltamos para
: como
,
$$
\frac1u=\frac{\sqrt{4+t^2}}t,
\frac1u=\frac{\sqrt{4+t^2}}t,
\frac1{u3}=\frac{(4+t2){3/2}}{t3}.
\frac{(t2-2)\sqrt{4+t2}}{24,t^3}+C.
$$