Exercício 1 Sejam
, com
. Mostre que:
-
se, e somente se,
;
-
;
-
se, e só se,
, para algum
;
-
, para quaisquer
e todo
;
-
(quando vale a igualdade?);
-
;
-
-
, para qualquer
;
-
, pra cada
;
Passo 1
Temos em mãos um vetor x = (x₁,…,xₙ) em ℝⁿ com norma definida por
e produto interno
. Precisamos provar nove propriedades fundamentais de norma e produto interno: positividade, Cauchy–Schwarz, caso de igualdade, linearidade, desigualdades triangulares, homogeneidade e desigualdade de coordenadas.
Passo 2
Para mostrar que
se, e somente se,
, note que
. Se essa soma é zero, cada
, logo
para todo j. Reciprocamente, se
, obviamente
.
Passo 3
A desigualdade de Cauchy–Schwarz
vem de observar que para todo
vale
. Expandindo,
Como esse polinômio em
nunca é negativo, seu discriminante satisfaz
, daí
.
Passo 4
O caso de igualdade
ocorre exatamente quando o discriminante é zero, ou seja, quando os vetores são linearmente dependentes:
para algum
.
Passo 5
Para a linearidade em primeiro argumento, basta usar definição de soma e produto interno coordenada a coordenada:
Passo 6
A desigualdade triangular
surge de expandir
e aplicar Cauchy–Schwarz para ter
. Logo
, daí a desigualdade ao extrair raiz. A igualdade ocorre se e só se
e
são não-negativamente proporcionais.
Passo 7
A segunda desigualdade triangular
segue trocando
por
.
Passo 8
Para mostrar
, aplique a triangular em
e em
, obtendo
e
, o que dá o valor absoluto.
Passo 9
A homogeneidade
decorre de
Passo 10
Finalmente, para cada coordenada
temos
, então
.
Resposta
-
⇔ . 2. . 3. Igualdade em (2) ⇔ para algum . 4. . 5. , com igualdade se são proporcionalmente positivos. 6. . 7. . 8. . 9. para todo .