Exercício 1 Sejam y=, com |x|=0 x=(0, ldots, 0). Mostre que:
  1. || <=|x||y| se, e somente se, |;
  2. x=alpha y;
  3. alpha in R se, e só se, lang<=alpha x+y, wrang<==alphalang<= x, wrang<=+lang<= y, wrang<=, para algum x, y, w in R^n;
  4. alpha in R, para quaisquer |x+y| <=|x|+|y| e todo |x-y| <=|x|+|y|;
  5. ||x||-| y|mid <=| x-y | (quando vale a igualdade?);
  6. |lambda cdot x|=|lambda||x|;
  7. lambda in R
  8. j in1, ldots, n, para qualquer ;
  9. , pra cada ;

Passo 1

Temos em mãos um vetor x = (x₁,…,xₙ) em ℝⁿ com norma definida por |x|=raizx₁²+⋯+xₙ²²² e produto interno ⟨x,y⟩=∑j=1^n xjyj. Precisamos provar nove propriedades fundamentais de norma e produto interno: positividade, Cauchy–Schwarz, caso de igualdade, linearidade, desigualdades triangulares, homogeneidade e desigualdade de coordenadas.

Passo 2

Para mostrar que |x|=0 se, e somente se, x=(0,dots,0), note que |x|^2=∑j=1^n xj^2. Se essa soma é zero, cada xj^2=0, logo xj=0 para todo j. Reciprocamente, se x=0, obviamente |x|=0.

Passo 3

A desigualdade de Cauchy–Schwarz |⟨x,y⟩|<=|x||y| vem de observar que para todo lambda∈ℝ vale |x-λy|^2≥0. Expandindo,
|x-λy|^2=⟨x-λy,x-λy⟩=|x|^2-2λ⟨x,y⟩+λ^2|y|^2>=0
Como esse polinômio em λ nunca é negativo, seu discriminante satisfaz (−2⟨x,y⟩)^2−4|y|^2|x|^2<=0, daí ⟨x,y⟩^2<=|x|^2|y|^2.

Passo 4

O caso de igualdade |⟨x,y⟩|=|x||y| ocorre exatamente quando o discriminante é zero, ou seja, quando os vetores são linearmente dependentes: x=αy para algum α∈ℝ.

Passo 5

Para a linearidade em primeiro argumento, basta usar definição de soma e produto interno coordenada a coordenada:
⟨αx+y,w⟩=∑j (αxj+yj)wj=α∑j xjwj+∑j yjwj=α⟨x,w⟩+⟨y,w⟩

Passo 6

A desigualdade triangular |x+y|<=|x|+|y| surge de expandir |x+y|^2=|x|^2+2⟨x,y⟩+|y|^2 e aplicar Cauchy–Schwarz para ter 2⟨x,y⟩<=2|x||y|. Logo |x+y|^2<=(|x|+|y|)^2, daí a desigualdade ao extrair raiz. A igualdade ocorre se e só se x e y são não-negativamente proporcionais.

Passo 7

A segunda desigualdade triangular |x-y|<=|x|+|y| segue trocando y por -y.

Passo 8

Para mostrar ||x|-|y||<=|x-y|, aplique a triangular em x=(x-y)+y e em y=(y-x)+x, obtendo |x|-|y|<=|x-y| e |y|-|x|<=|x-y|, o que dá o valor absoluto.

Passo 9

A homogeneidade |λx|=|λ||x| decorre de
|λx|=raiz∑(λxj)^2=raizλ^2∑xj^2=|λ|raiz∑xj^2=|λ||x|

Passo 10

Finalmente, para cada coordenada xj temos xj^2<=∑i=1^n xi^2, então |xj|=raizxj^2<=raiz∑xi^2=|x|.

Resposta

  1. |x|=0 x=(0,dots,0). 2. |⟨x,y⟩|<=|x||y|. 3. Igualdade em (2) ⇔ x=αy para algum αinℝ. 4. ⟨αx+y,w⟩=α⟨x,w⟩+⟨y,w⟩. 5. |x+y|<=|x|+|y|, com igualdade se x,y são proporcionalmente positivos. 6. |x-y|<=|x|+|y|. 7. ||x|-|y||<=|x-y|. 8. |λx|=|λ||x|. 9. |xj|<=|x| para todo j.

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