Encontre a série de Maclaurin de cada função dada a seguir:
e^-x^2

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=e^-x^2. O conteúdo aqui é série de Taylor em torno de zero (Maclaurin), e vamos precisar usar a expansão conhecida de e^u.

Passo 2

A série de Maclaurin de e^u é dada por
e^u=sumn=0^inftyu^nn!
Para nossa função, fazemos a troca de variável u=-x^2.

Passo 3

Substituindo u=-x^2 na série de e^u, obtemos
e^-x^2=sumn=0^infty(-x^2)^nn! =sumn=0^infty(-1)^nx^2nn!
Essa é a série de Maclaurin de e^-x^2, válida para todo x.

Resposta

e^-x^2=sumn=0^infty(-1)^nx^2nn!

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