Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:
integral d tt^2 raiz9 t^2+16

Passo 1

Vamos resolver a integral integral dtt^2raiz9t^2+16 usando substituição trigonométrica. O conteúdo aqui é integrar um radical do tipo raiza^2+t^2, e vamos precisar escolher uma substituição que torne esse radical uma função trigonométrica simples.

Passo 2

Escolhemos t = 43tan u. Assim, derivando, temos
dt = 43sec^2u,du
e o radical se simplifica a
raiz9t^2+16 = raiz9l(tfrac43tan ur)^2+16 = 4sec u

Passo 3

Substituindo na integral original:
integral dtt^2raiz9t^2+16 = integral 43sec^2u,dul(169tan^2ur)cdot4sec u = 316integral sec utan^2u,du
Observamos que
sec utan^2u = 1/cos u(sin^2u/cos^2u) = cos usin^2u = cot u,csc u

Passo 4

Agora integramos a parte trigonométrica:
integral cot u,csc u,du = -csc u + C
Logo,
316integral sec utan^2u,du = 316(-csc u) + C = -316csc u + C

Passo 5

Fazendo a volta à variável t: da definição t=43tan u temos
csc u = 1sin u, sin u = tan usec u = 3t4raiz1+l(3t4r)^2 = 3traiz9t^2+16
Então
-316csc u = -316cdotraiz9t^2+163t = -raiz9t^2+1616t + C

Resposta

-raiz9t^2+1616t + C

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