Encontre a série de Maclaurin de cada função dada a seguir:
arctan (x)

Passo 1

O exercício pede para encontrar a série de Maclaurin de arctan(x). Esse tipo de problema envolve expandir uma função em uma série de potências em torno de x=0. Vamos usar o fato de que a derivada de arctan(x) gera uma forma que conhecemos bem, e em seguida integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, lembramos que
ddxl(arctan(x)r)=11+x^2
E sabemos da série geométrica que para |x|<1
11+u=sumn=0^infty(-1)^n u^n
Aqui basta tomar u=x^2 para obter
11+x^2=sumn=0^infty(-1)^n x^2n

Passo 3

Agora que temos a série de 11+x^2, vamos integrar termo a termo para reconstruir arctan(x). Como
arctan(x)=integral0^x 11+t^2,dt,
integramos cada termo:
integral0^x t^2n,dt=x^2n+12n+1
Portanto,
arctan(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+12n+1+C

Passo 4

Para determinar a constante C, usamos arctan(0)=0. Isso faz C=0. Assim a série de Maclaurin fica
arctan(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+12n+1, |x|<1

Resposta

arctan(x)=x-x^33+x^55-x^77+cdots=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+12n+1,;|x|<1

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