Encontre a série de Maclaurin de cada função dada a seguir:
Passo 1
O exercício pede para encontrar a série de Maclaurin de
. Esse tipo de problema envolve expandir uma função em uma série de potências em torno de
. Vamos usar o fato de que a derivada de
gera uma forma que conhecemos bem, e em seguida integrar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, lembramos que
E sabemos da série geométrica que para
Aqui basta tomar
para obter
Passo 3
Agora que temos a série de
, vamos integrar termo a termo para reconstruir
. Como
integramos cada termo:
Portanto,
Passo 4
Para determinar a constante
, usamos
. Isso faz
. Assim a série de Maclaurin fica