Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:
integral xraiz25-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral xraiz25 - x^2,dx, que é um problema de integração usando substituição trigonométrica para expressões da forma raiza^2-x^2. Vamos usar conhecimentos de trigonometria para transformar a raiz em função trigonométrica.

Passo 2

Na substituição trigonométrica para raiza^2-x^2, escolhemos x = asintheta. Aqui a = 5, então fazemos:
x = 5sintheta,
logo
dx = 5costheta,dtheta
e também
raiz25 - x^2 = raiz25 - 25sin^2theta = 5costheta

Passo 3

Substituindo na integral original temos:
integral xraiz25 - x^2,dx = integral 5sintheta5costhetacdot(5costheta,dtheta)
Observe que os 5 e costheta se cancelam, sobrando
integral 5sintheta,dtheta

Passo 4

Agora integramos em theta:
integral 5sintheta,dtheta = -5costheta + C
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Falta voltar para a variável x. Como x = 5sintheta, temos sintheta = x5. Logo
costheta = raiz1 - sin^2theta = raiz1 - l(x5r)^2 = raiz25 - x^25
Substituindo em -5costheta
-5 cdot raiz25 - x^25 = -raiz25 - x^2 + C

Resposta

-\sqrt{25 - x^{2}} + C

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