Usando o teste da raiz, verifique que as séries dadas abaixo convergem:
sumn=1^infty (-5)^n+1n^n

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da raiz na série sumn=1^infty (-5)^n+1n^n. O conteúdo é o teste da raiz para séries de termos gerais an, em que precisamos calcular L = limntoinfty raiz[n]|an|.

Passo 2

Começamos identificando o termo geral an = (-5)^n+1n^n. Primeiro, vamos trabalhar com o módulo:
|an| = 5^n+1n^n = 5 cdot 5^nn^n = 5l(5nr)^n

Passo 3

Agora aplicamos o teste da raiz, calculando
raiz[n]|an| = raiz[n]5l(tfrac5nr)^n = 5^1/n cdot 5n
À medida que n to infty, temos 5^1/nto1 e 5/nto0. Logo,
L = limntoinfty raiz[n]|an| = 0

Passo 4

Pelo teste da raiz, se L < 1 a série converge absolutamente (e, portanto, converge). Como obtivemos L = 0 < 1, concluímos que a série converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo teste da raiz, pois o limite da raiz L=0<1).

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