Exercício 1 Obtenha as soluções dos P.V.I.'s abaixo.
l y^prime prime(t)+4 y^prime(t)+4 y(t)=0 y(-1)=2, y^prime(-1)=1

Passo 1

Temos um P.V.I. com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes: y’’(t) + 4 y’(t) + 4 y(t) = 0, sujeita às condições y(–1) = 2 e y’(–1) = 1. Vamos usar o método da equação característica para resolver.

Passo 2

Formamos a equação característica associada à parte homogênea:
r^2 + 4r + 4 = 0
Resolvendo, obtemos raiz dupla r = –2. Para raízes repetidas de multiplicidade 2, a solução geral é
y(t) = C1 e^-2t + C2 , t , e^-2t

Passo 3

Para aplicar a condição sobre y’ precisamos de y’(t). Derivando
y(t) = C1 e^-2t + C2 , t , e^-2t,
usamos a regra do produto em C2 t e^-2t:
y'(t) = -2C1 e^-2t + C2, (1 - 2t), e^-2t

Passo 4

Agora impomos as condições iniciais. Em t = –1:
Para y(–1) = 2:
y(-1) = C1 e^2 + C2 (-1) e^2 = 2 ,Rightarrow, e^2(C1 - C2) = 2 ,Rightarrow, C1 - C2 = 2e^-2
Para y’(–1) = 1:
y'(-1) = -2C1 e^2 + C2 (1 + 2) e^2 = 1 ,Rightarrow, e^2(-2C1 + 3C2) = 1 ,Rightarrow, -2C1 + 3C2 = e^-2
Formamos o sistema:
C1 - C2 = 2e^-2 -2C1 + 3C2 = e^-2

Passo 5

Resolvendo o sistema: da primeira equação C1 = C2 + 2e^-2. Substituindo na segunda:
-2(C2 + 2e^-2) + 3C2 = e^-2
C2 - 4e^-2 = e^-2 Rightarrow C2 = 5e^-2,
C1 = C2 + 2e^-2 = 7e^-2

Passo 6

Substituindo C1 e C2 na solução geral:
y(t) = 7e^-2 e^-2t + 5e^-2,t,e^-2t = (7 + 5t),e^-2(t+1)

Resposta

y(t) = (7 + 5t),e^-2(t+1)

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