Exercício 1 Obtenha as soluções dos P.V.I.'s abaixo.
Passo 1
Temos um P.V.I. com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes: y’’(t) + 4 y’(t) + 4 y(t) = 0, sujeita às condições y(–1) = 2 e y’(–1) = 1. Vamos usar o método da equação característica para resolver.
Passo 2
Formamos a equação característica associada à parte homogênea:
Resolvendo, obtemos raiz dupla r = –2. Para raízes repetidas de multiplicidade 2, a solução geral é
Passo 3
Para aplicar a condição sobre y’ precisamos de y’(t). Derivando
usamos a regra do produto em
Passo 4
Agora impomos as condições iniciais. Em t = –1:
Para y(–1) = 2:
Para y(–1) = 2:
Para y’(–1) = 1:
Formamos o sistema:
Passo 5
Resolvendo o sistema: da primeira equação
. Substituindo na segunda:
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral: