Exercício 1 Obtenha as soluções dos P.V.I.'s abaixo.
l 9 y^prime prime(t)-12 y^prime(t)+4 y(t)=0 y(0)=2, y^prime(0)=-1

Passo 1

O problema pede para resolver o P.V.I. 9y''(t)-12y'(t)+4y(t)=0 com condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=-1. É uma equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes. Vamos usar a equação característica, achar as raízes, montar a solução geral e aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica associada substituindo y(t)=e^rt:
9r^2 - 12r + 4 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante: De. Há raiz dupla:
r = 122cdot9 = 23

Passo 4

Como a raiz r=2/3 é dupla, a solução geral é dada por:
y(t) = (C1 + C2 t) e^tfrac23t

Passo 5

Calculamos a derivada para usar a condição em y'(0). Derivando y(t):
y'(t) = l(C2 + (C1 + C2 t)cdottfrac23r) e^tfrac23t

Passo 6

Aplicamos y(0)=2:
y(0) = (C1 + C2cdot0)e^0 = C1 = 2

Passo 7

Aplicamos y'(0)=-1:
y'(0) = l(C2 + C1cdottfrac23r)e^0 = C2 + tfrac43 = -1

Passo 8

Daí C2 = -1 - tfrac43 = -tfrac73. Substituindo em y(t) obtemos a solução final.

Resposta

y(t) = l(2 - tfrac73tr) e^tfrac23t

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