Determine o intervalo de convergência de cada série de potências:

Passo 1

Vamos analisar a série de potências dada e achar seu intervalo de convergência. O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar o teste da raiz para obter o raio de convergência e depois checar o comportamento nos extremos.

Passo 2

Escrevendo a série em destaque, temos:
sumn=1^infty l(5^n+5^-nr),(x+1)^3n-2n^2
Para aplicar o teste da raiz, identificamos o termo geral
$$a_n = \frac{\bigl(5{n}+5{-n}\bigr),|x+1|{3n-2}}{n{2}};.
an = l(5^n+5^-nr),|x+1|^3n-2n^2; ãL = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n},.$$

Passo 3

Para encontrar L, note que 5^n + 5^-n = 5^nl(1+5^-2nr) e para grandes n o fator dominante é 5^n. Além disso |x+1|^3n-2 = |x+1|^3n,|x+1|^-2. Assim
raiz[n]an sim raiz[n]5^n,|x+1|^3n ;=; 5,|x+1|^3,
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$$L = 5,|x+1|^3;.
L = 5,|x+1|^3; éé5,|x+1|^3 < 1 \quad\Longrightarrow\quad |x+1| < \frac{1}{\sqrt[3]{5}},.
$$

Passo 4

O raio de convergência é
$$R = \frac{1}{\sqrt[3]{5}},
R = 1raiz[3]5,, é|x+1|<\frac{1}{\sqrt[3]{5}},.
$$
Agora faltam os extremos |x+1|<1raiz[3]5, .

Passo 5

Substituindo x+1=pmtfrac1raiz[3]5 no termo geral, obtemos
an = l(5^n+5^-nr),(pmtfrac1raiz[3]5)^3n-2n^2 = l(5^n+5^-nr),(pm1)^n,(raiz[3]5)^-3n+2n^2 = (1+5^-2n),(pm1)^n,5^-n,5^2/3n^2 = 5^2/3,(pm1)^n,1+5^-2nn^2,
Como 1+5^-2n tende a 1, isso se comporta como uma constante vezes tfrac(pm1)^nn^2.

Passo 6

A série sum (pm1)^n /n^2 é absolutamente convergente (série p com p=2>1). Assim a nossa também converge absolutamente em ambos os extremos. Portanto, incluindo-os na convergência.

Passo 7

Concluindo, o intervalo de convergência é
$$x \in \Bigl[-1-\tfrac{1}{\sqrt[3]{5}},-1+\tfrac{1}{\sqrt[3]{5}}\Bigr].
$$

Resposta

l[-1-tfrac1raiz[3]5,,-1+tfrac1raiz[3]5r]

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