Determine o intervalo de convergência de cada série de potências:
Passo 1
Vamos analisar a série de potências dada e achar seu intervalo de convergência. O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar o teste da raiz para obter o raio de convergência e depois checar o comportamento nos extremos.
Passo 2
Escrevendo a série em destaque, temos:
Para aplicar o teste da raiz, identificamos o termo geral
$$a_n = \frac{\bigl(5{n}+5{-n}\bigr),|x+1|{3n-2}}{n{2}};.
Passo 3
Para encontrar
, note que
e para grandes
o fator dominante é
. Além disso
. Assim
Logo
$$L = 5,|x+1|^3;.
$$
Passo 4
O raio de convergência é
$$R = \frac{1}{\sqrt[3]{5}},
$$
Agora faltam os extremos .
Agora faltam os extremos
Passo 5
Substituindo
no termo geral, obtemos
Como
tende a 1, isso se comporta como uma constante vezes
.
Passo 6
A série
é absolutamente convergente (série p com
). Assim a nossa também converge absolutamente em ambos os extremos. Portanto, incluindo-os na convergência.
Passo 7
Concluindo, o intervalo de convergência é
$$x \in \Bigl[-1-\tfrac{1}{\sqrt[3]{5}},-1+\tfrac{1}{\sqrt[3]{5}}\Bigr].
$$