Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:
integral e^xraize^2 x+1 d x

Passo 1

A questão pede para calcular a integral integral e^xraize^2x+1,dx. O conteúdo principal é substituição trigonométrica (e também uma troca inicial de variável) para transformar a expressão num formato padrão integraldtraizt^2+1.

Passo 2

Primeiro, fazemos a troca t=e^x para simplificar a parte exponencial. Como dt=e^x,dx, temos na prática:
integral e^xraize^2x+1,dx =integral dtraizt^2+1

Passo 3

Agora precisamos calcular integraldtraizt^2+1. Usamos a substituição trigonométrica clássica t=tantheta. Assim,
t=tantheta, dt=sec^2theta,dtheta, raizt^2+1=raiztan^2theta+1=sectheta
Substituindo na integral, fica
integral dtraizt^2+1 =integral sec^2theta,dthetasectheta =integral sectheta,dtheta

Passo 4

A integral de sectheta é um resultado padrão:
integral sectheta,dtheta =lnl|sectheta+tanthetar|+C

Passo 5

Voltando de theta para t, lembramos que sectheta=raizt^2+1 e tantheta=t. Logo,
lnl|sectheta+tanthetar|+C =lnl|t+raizt^2+1r|+C

Passo 6

Por fim, retornamos de t para x usando t=e^x. Portanto,
integral e^xraize^2x+1,dx =lnl(e^x+raize^2x+1r)+C

Resposta

lnl(e^x+raize^2x+1r)+C

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