Calcule as integrais abaixo, usando as técnicas de integração que aprendemos:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral
. Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que nos ajuda a quebrar frações complicadas em partes mais simples para integrar mais facilmente.
Passo 2
Primeiro, precisamos decompor a fração
em frações parciais. Como o denominador tem fatores lineares e repetidos, a gente assume a forma:
Aqui, A, B e C são constantes que vamos encontrar.
Passo 3
Para descobrir os valores de A, B e C, multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Agora, vamos expandir e simplificar a expressão do lado direito:
Passo 5
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 6
Para que essa igualdade seja válida para todos os valores de x, os coeficientes dos termos de mesmo grau devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
- Para
: - Para
: - Para o termo constante:
Passo 7
Vamos resolver o sistema:
- Da primeira equação:
- Substituindo
na terceira equação:
- Substituindo
na segunda equação:
Então:
Passo 8
Agora, substituímos os valores de A, B e C na decomposição original:
Passo 9
Finalmente, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando:
onde C é a constante de integração.
Resposta
A integral é: