Calcule as integrais abaixo, usando as técnicas de integração que aprendemos:
integral 4 x(x-1)^2(x+1) d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral integral 4x(x-1)^2(x+1) , dx. Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que nos ajuda a quebrar frações complicadas em partes mais simples para integrar mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, precisamos decompor a fração 4x(x-1)^2(x+1) em frações parciais. Como o denominador tem fatores lineares e repetidos, a gente assume a forma:
4x(x-1)^2(x+1) = Ax-1 + B(x-1)^2 + Cx+1
Aqui, A, B e C são constantes que vamos encontrar.

Passo 3

Para descobrir os valores de A, B e C, multiplicamos ambos os lados da equação por (x-1)^2(x+1) para eliminar os denominadores:
4x = A(x-1)(x+1) + B(x+1) + C(x-1)^2

Passo 4

Agora, vamos expandir e simplificar a expressão do lado direito:
4x = A(x^2 - 1) + B(x + 1) + C(x^2 - 2x + 1)

Passo 5

Vamos agrupar os termos semelhantes:
4x = (A + C)x^2 + (-2C + B)x + (-A + B + C)

Passo 6

Para que essa igualdade seja válida para todos os valores de x, os coeficientes dos termos de mesmo grau devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
  1. Para x^2: A + C = 0
  2. Para x: -2C + B = 4
  3. Para o termo constante: -A + B + C = 0

Passo 7

Vamos resolver o sistema:
  1. Da primeira equação: A = -C
  2. Substituindo A = -C na terceira equação:
-(-C) + B + C = C + B + C = B + 2C = 0 Rightarrow B = -2C
  1. Substituindo B = -2C na segunda equação:
-2C + (-2C) = -4C = 4 Rightarrow C = -1
Então:
A = -C = 1 B = -2C = 2

Passo 8

Agora, substituímos os valores de A, B e C na decomposição original:
4x(x-1)^2(x+1) = 1x-1 + 2(x-1)^2 - 1x+1

Passo 9

Finalmente, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x-1 , dx + integral 2(x-1)^2 , dx - integral 1x+1 , dx
Integrando:
ln|x-1| - 2x-1 - ln|x+1| + C
onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral é:
ln|x-1| - 2x-1 - ln|x+1| + C

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