3.2 Uma gotícula de substância A de raio R1 é suspensa numa corrente de gás B . Admite-se que existe um filme de gás estagnado em torno da gota de raio R2. A concentração de A na fase gasosa é xA 1 para r=R1 e xA 2 para r= R2.
a) Escreva uma expressão para o fluxo de A na interface r=R1.
b) Definindo um coeficiente de transferência de massa Kp através da equação
NA r 1=Kp(pA 1-pA 2), mostre que quando R2 infty :
Kp=2 C DA BD(pB)ln
sendo D o diâmetro da gotícula.
c) Definindo S h=Kp(pB)ln DC DA B mostre que S h=2.

Passo 1

O enunciado trata de transferência de massa por difusão num meio gasoso em torno de uma gotícula esférica de raio R1, com um filme estagnado que vai até r=R2. A concentração molar fracionária de A na fase gasosa é xA1 em r=R1 e xA2 em r=R2. O conteúdo é a aplicação da Lei de Fick em coordenadas esféricas, em regime permanente e sem geração. Vamos precisar resolver
1r^2ddr!l(r^2NA,rr)=0,
com
NA,r(r)=-,C,DAB,dxAdr,
onde C é a concentração total ( =tfracprm totalRT).

Passo 2

Integramos a conservação em regime estacionário:
ddr!l(r^2NA,rr)=0 Longrightarrow r^2NA,r=conste=;k
Como NA,r=-C,DAB,dxA/dr, segue
r^2dxAdr=-kC,DAB
Integramos dxA/dr de r=R1 a r=R2, sabendo que xA(R1)=xA1 e xA(R2)=xA2:
integralxA1^xA2dxA =-kC,DAB integralR1^R2drr^2 =-kC,DABl(tfrac1R2-tfrac1R1r)
Logo
xA2-xA1 =-kC,DABl(tfrac1R2-tfrac1R1r) ;Longrightarrow; k = C,DAB,l(xA1-xA2r),R1R2,R2-R1,

Passo 3

O fluxo molar de A na interface r=R1 é
NA,r1 =-,C,DAB,dxAdr|r=R1 =-,C,DAB,kC,DAB;1R1^2 =,l(xA1-xA2r);R2,R1(R2-R1),,C,DAB

Passo 4

Para R2toinfty temos tfracR2R2-R1to1, de modo que
NA,r1 ;xrightarrow[R2toinfty]; C,DABR1, l(xA1-xA2r)
Como xAi=pAi/pB,i e pB varia com r, usa-se a média logarítmica
,(xA1-xA2)=(pA1-pA2)/(pB)ln. Definindo
NA,r1=Kp,l(pA1-pA2r)
segue
Kp =NA,r1,pA1-pA2, =C,DAB,R1,(pB)ln, =2,C,DAB,D,(pB)ln,,
pois D=2R1.

Passo 5

Com
Sh =Kp,(pB)ln,DC,DAB
temos, substituindo o valor de Kp,
Sh =l(2,C,DAB/[D,(pB)ln]r),(pB)ln,DC,DAB =2

Resposta

a) NA,r1 =C,DAB,l(xA1-xA2r), R2R1(R2-R1)
b) Kp =2,C,DABD,(pB)ln
c) Sh=2

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