3.3 Difusão numa placa plana em estado transiente.

Uma placa de madeira húmida de dimensões 12" x 12" x 1" é exposta a ar relativamente seco. As extremidades são inicialmente isoladas para limitar o processo de secagem às faces de maiores dimensões da placa. O líquido interno difunde-se até à superfície onde se evapora para a corrente de ar. A quantidade de humidade na superfície permanece constante e igual a 7 % (% mássica). Após 10 h de secagem a quantidade de humidade do centro diminui de 15 para 10 (% mássica). Considerar que o coeficiente de transferência de massa é suficientemente grande, e que por conseguinte a resistência externa à transferência de massa é praticamente nula. Calcular:
a) o coeficiente de difusão efectiva.
b) a humidade no centro se a evaporação se der através das seis faces da placa.
c) o tempo necessário para baixar a quantidade de humidade no centro de um cubo ( 1 ft^3 ) dessa madeira, de 15 para 10 %, utilizando as seis faces.
Factores de conversão: 1^prime prime=1 / 12 ft ; 1 ft=0,3048 m

Passo 1

O enunciado trata da secagem transiente de uma placa de madeira de 12''times12''times1'' em que só as faces maiores (espessura 1'') trocam massa. A humidade na superfície é mantida constante em 7% mássica, e no centro da lâmina a humidade cai de 15% para 10% em t=10 h. Vamos usar o modelo unidimensional para difusão numa lâmina infinita com concentração superficial constante para (a) determinar o coeficiente de difusão efetiva Drm eff, depois estender ao caso de seis faces para (b) calcular a humidade central em 10 h e para (c) achar o tempo necessário num cubo de 1 ft ^3.

Passo 2

Para uma lâmina de espessura total 2L com concentração superficial constante Cs e concentração inicial uniforme Ci, a concentração no centro C(0,t) satisfaz, aproximando só o primeiro termo da série,
C(0,t)-CsCi-Cs =4piexp!l(-tfracpi^24,For),
onde o número de Fourier é
Fo=Drm eff,tL^2,
Aqui Ci=15%, Cs=7% e C(0,10, h)=10%, de modo que
10-715-7=38 =4piexp!l(-tfracpi^24,For)
Isolando Fo vem
exp!l(-tfracpi^24,For) =38,pi4 Longrightarrow Fo =-4pi^2ln!l(tfrac3pi32r) approx0,495

Passo 3

A lâmina tem espessura total 1'', logo L=0,5''=0,5/12 ft approx0,04167 ft =0,04167times0,3048 m approx0,0127 m, e t=10 h =36000 s. Assim
Drm eff =Fo,L^2t =0,495;(0,0127)^236000 approx2,2times10^-9 m^2/s

Passo 4

Quando todas as seis faces secam, o modelo tridimensional aproximado pelo produto dos três modos principais dá no centro
Cc-CsCi-Cs =l(4pir)^3 exp!l[-tfracpi^2,Drm eff,t4l(tfrac1Lx^2+tfrac1Ly^2+tfrac1Lz^2r)r],
com Lx=Ly=6''=0,1524 m e Lz=0,5''=0,0127 m, t=36000 s. Calcula-se
sum1/Li^2=2/(0,1524)^2+1/(0,0127)^2approx6285 m^-2.
Logo
Cc-715-7 =2,063;exp!l[-(2,467),Drm eff,36000times6285r] approx2,063,e^-1,239 approx0,60,
daí Cc-7=0,60times8=4,8 e
Ccapprox11,8% (mássica) á

Passo 5

Para um cubo de lado 1 ft ( 0,3048 m), todas as seis faces e meio-lado Lh=0,5 ft =0,1524 m, a mesma expressão reduz-se a
38 =l(4pir)^3 exp!l[-tfracpi^2Drm efft4,3Lh^2r]
Isolando t:
t =-43pi^2Drm eff/Lh^2, ln!l(38pi^34^3r) approx2,4times10^6 s approx670 h

Resposta

a) Drm effapprox2,2times10^-9 m^2/s
b) Ccapprox11,8% (mássica).
c) tapprox2,4times10^6 sapprox670 h

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