Calcule as integrais abaixo, usando as técnicas de integração que aprendemos:
integral0^4|x-3| d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral0^4|x-3| , dx. A matéria aqui é sobre integração de funções absolutas. Para resolver, vamos precisar dividir a integral em partes onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde x - 3 = 0. Isso acontece quando x = 3. Esse é o ponto onde a função dentro do valor absoluto muda de positiva para negativa ou vice-versa.

Passo 3

Agora, vamos dividir a integral em dois intervalos: de 0 a 3 e de 3 a 4. Isso porque em cada um desses intervalos, a expressão |x - 3| se comporta de maneira diferente.
integral0^4|x-3| , dx = integral0^3|x-3| , dx + integral3^4|x-3| , dx

Passo 4

Vamos simplificar as integrais removendo o valor absoluto:
  • De 0 a 3: x - 3 é negativo, então |x - 3| = 3 - x.
  • De 3 a 4: x - 3 é positivo, então |x - 3| = x - 3.
Então, temos:
integral0^3(3 - x) , dx + integral3^4(x - 3) , dx

Passo 5

Vamos calcular cada integral separadamente:
  1. integral0^3(3 - x) , dx:
integral (3 - x) , dx = 3x - x^22
Avaliado de 0 a 3:
[3(3) - 3^22] - [3(0) - 0^22] = 9 - 4.5 = 4.5
  1. integral3^4(x - 3) , dx:
integral (x - 3) , dx = x^22 - 3x
Avaliado de 3 a 4:
[4^22 - 3(4)] - [3^22 - 3(3)] = (8 - 12) - (4.5 - 9) = -4 + 4.5 = 0.5

Resposta

Somando as duas partes, a integral vale 4.5 + 0.5 = 5.

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