No processo de fabrico de aço, uma suspensão de partículas de ferro fundido com 4 % p / p de carbono cai através de uma atmosfera de oxigénio. Ao longo da queda o carbono à superfície das partículas reage instantaneamente com o oxigénio:
C+12 O2(g) CO2(g)
Calcule o tamanho máximo das partículas de forma a que após uma queda de 2 s a concentração de carbono no centro das partículas seja inferior a 0,1 % p / p. A difusividade do carbono no ferro é igual a 7,5 times 10^-9 m^2 s^-1.

Passo 1

O enunciado trata de difusão transiente de carbono numa partícula esférica de ferro, com reação instantânea na superfície que mantém a concentração de carbono na casca igual a zero. Inicialmente toda a esfera tem concentração uniforme ci=4% (massa/massa) e queremos que no centro, após t=2 s, a concentração seja inferior a 0,1%. A difusividade é D=7,5times10^-9 m^2,s^-1.

Passo 2

A solução em série para a concentração no centro de uma esfera com superfície mantida em c=0 é
c(0,t)ci =6pi^2 sumn=1^infty1n^2 exp!l(-n^2pi^2,D,tR^2r)

Passo 3

Como os termos de ordem superior decaem muito rapidamente, usamos só n=1 para estimar:
c(0,t)ciapprox6pi^2, exp!l(-pi^2 D,tR^2r)
Queremos
c(0,t)ci<=0,1%4%=0,025

Passo 4

Resolvendo para R:
6pi^2exp!l(-pi^2D,tR^2r)=0,025 Longrightarrow exp!l(-pi^2D,tR^2r) =0,025;pi^26
-pi^2D,tR^2 =ln!l(0,025,pi^26r) Longrightarrow R^2 =-pi^2D,t lnl(0,025,pi^2/6r)
Substituindo D=7,5times10^-9 m^2/s e t=2 s
Rapprox6,8times10^-4 m

Resposta

O raio máximo é aproximadamente
Rapprox6,8times10^-4,m,
o que corresponde a um diâmetro de cerca de
2Rapprox1,4times10^-3,m

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