Um cilíndro de um gel de agarose, com 30,5 mm de diâmetro e 38,1 mm de altura, contém uma concentração uniforme de ureia igual a 100 moles / m^3. O coeficiente de difusão da ureia é igual a 4,72 times 10^-10 m^2 s^-1. Calcule a concentração de ureia no ponto médio do cilíndro, 100 h após a sua imersão em água pura muito agitada.
a) Considere que a difusão ocorre apenas radialmente.
b) Considere que a difusão ocorre radial e axialmente (aplique o princípio da sobreposição).

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro de gel de agarose de diâmetro 30,5 mm e altura 38,1 mm, com concentração inicial uniforme de ureia C0=100 mol/m^3. Após imersão em água pura muito agitada, as superfícies do cilindro mantêm concentração zero. Queremos a concentração em um ponto médio do cilindro (radialmente a r=R/2 e axialmente no plano médio), após t=100 h. O conteúdo é resolução da equação de difusão por separação de variáveis:
1) só radialmente (geometria cilíndrica, funções de Bessel)
2) radial + axial (princípio da sobreposição, produto das soluções)

Passo 2

Convertemos dados e definimos parâmetros:
,
,
,
.
Para difusão apenas radial em cilindro com contorno , a solução em série é
onde são zeros de . Tomando só ( ):
Em :
, .
O expoente é
logo
e

Passo 3

Para difusão radial + axial no cilindro, usamos também solução em série ao longo de z com contorno C(z=0,t)=C(z=H,t)=0. A separação de variáveis dá
C(r,z,t)C0 =sumn,mAnm,J0!l(alphantfracrRr)sin!l(mpitfraczHr) exp!l(-Dl(tfracalphan^2R^2+tfracm^2pi^2H^2r)tr)
No ponto médio r=R/2, z=H/2, só n=1,m=1 (termos dominantes) dão contribuição não nula, com coeficientes
A11 =2alpha1J1(alpha1)times4pi
Então
CC0approx underbrace2,J0(alpha1/2)alpha1J1(alpha1) e^-alpha1^2D,t/R^2radial ;times; underbrace4pi,e^-pi^2D,t/H^2axial
Já temos o termo radial 0,01345. O termo axial é
4piexp!l(-pi^2D,tH^2r) =4piexp!l(-1,155r)approx1,273times0,3154 =0,4016
Portanto
CC0approx0,01345times0,4016=0,005404,
e
Capprox0,005404times100=0,54 mol/m^3

Resposta

a) Capprox1,35 mol/m^3
b) Capprox0,54 mol/m^3

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