Um cilíndro de um gel de agarose, com de diâmetro e de altura, contém uma concentração uniforme de ureia igual a 100 moles . O coeficiente de difusão da ureia é igual a . Calcule a concentração de ureia no ponto médio do cilíndro, 100 h após a sua imersão em água pura muito agitada.
a) Considere que a difusão ocorre apenas radialmente.
b) Considere que a difusão ocorre radial e axialmente (aplique o princípio da sobreposição).
Passo 1
O enunciado descreve um cilindro de gel de agarose de diâmetro e altura , com concentração inicial uniforme de ureia . Após imersão em água pura muito agitada, as superfícies do cilindro mantêm concentração zero. Queremos a concentração em um ponto médio do cilindro (radialmente a e axialmente no plano médio), após . O conteúdo é resolução da equação de difusão por separação de variáveis: ) só radialmente (geometria cilíndrica, funções de Bessel) ) radial axial (princípio da sobreposição, produto das soluções)
Passo 2
Convertemos dados e definimos parâmetros: , , , .
Para difusão apenas radial em cilindro com contorno , a solução em série é
onde são zeros de . Tomando só ():
Em : , .
O expoente é
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e
Passo 3
Para difusão radial axial no cilindro, usamos também solução em série ao longo de com contorno . A separação de variáveis dá
No ponto médio , , só (termos dominantes) dão contribuição não nula, com coeficientes