Seja
um campo vetorial.
(a) Mostre que
é conservativo.
(b) Encontre
tal que
.
(c) Calcule
, onde
é definida por
.
(d) Calcule
, onde
é uma curva fechada
.
(a) Mostre que
(b) Encontre
(c) Calcule
(d) Calcule
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede quatro coisas:
- (a) Mostrar que
é conservativo. - (b) Encontrar uma função potencial
tal que . - (c) Calcular
para a curva parametrizada por , . - (d) Calcular
para a curva fechada , .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As componentes do campo são
e . - As curvas são explicitamente parametrizadas; para (c) os pontos inicial e final serão úteis e para (d) a curva é fechada (começa e termina no mesmo ponto).
Passo 2
Condição de conservatividade e verificação (aula rápida):
Para um campo vetorial com derivadas parciais contínuas em um domínio simplesmente conexo do plano, uma condição necessária e suficiente para ser conservativo é
Para um campo vetorial
Isto vem da igualdade das segundas derivadas mistas de uma função potencial
(se
existir,
deve ser igual a
) e é um critério prático que se usa muito em provas.
Calcule as derivadas parciais (tudo mostrado passo a passo):
Como
para todo
, e o domínio natural do campo é
(que é simplesmente conexo), conclui-se que
é conservativo. Em palavras: existe uma função potencial
com
, e integrais de linha de
são independentes de caminho.
Passo 3
Construção da função potencial
(método e explicação):
Se , então
Se
Um procedimento prático é integrar
em relação a
, tratando
como constante, e depois ajustar com uma função de
que aparece como “constante de integração”.
Integre
em
:
onde
é alguma função só de
(porque ao derivar em
ela desaparece).
Agora determine
impondo
. Calcule
:
Comparando com
vemos que
onde
é constante real arbitrária.
Portanto uma função potencial é
(A constante
não altera
.)
Passo 4
Cálculo da integral para a curva
,
(parte (c)):
Como é conservativo, a integral de linha entre dois pontos depende apenas da diferença da função potencial nos extremos (Teorema fundamental para gradientes):
Como
Encontre os pontos extremos:
Avalie
nesses pontos (pode escolher
para simplificar):
Calcule :
Calcule
Calcule
:
Então a integral vale
Passo 5
Cálculo da integral para a curva fechada
,
(parte (d)):
Para qualquer campo conservativo definido em um domínio que contém a curva, a integral sobre qualquer laço fechado é zero, pois é a diferença entre o ponto final e inicial (são iguais). Aqui a curva é fechada porque
. Logo
Para qualquer campo conservativo definido em um domínio que contém a curva, a integral sobre qualquer laço fechado é zero, pois é a diferença
Resposta
(a)
é conservativo.
(b)
(qualquer constante
).
(c)
(d)