Seja F(x, y)=\left(x y^{2}+2 y\right) \mathbf{i}+\left(x^{2} y+2 x+2\right) \mathbf{j} um campo vetorial.
(a) Mostre que F é conservativo.
(b) Encontre f tal que \nabla f=F.
(c) Calcule \int_{C} F \cdot d r, onde C é definida por r(t)=\left\langle e^{t}, 1+t\right\rangle, 0 \leq t \leq 1.
(d) Calcule \int_{C} F \cdot d r, onde C é uma curva fechada r(t)=\langle 2 \sin (t), \cos (t)\rangle, 0 \leq t \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y)=\big(x y^{2}+2 y\big)\,\mathbf{i}+\big(x^{2}y+2x+2\big)\,\mathbf{j}
e pede quatro coisas:
  • (a) Mostrar que F é conservativo.
  • (b) Encontrar uma função potencial f tal que \nabla f=F.
  • (c) Calcular \displaystyle\int_{C} F\cdot d r para a curva parametrizada por r(t)=\langle e^{t},\,1+t\rangle, 0\le t\le1.
  • (d) Calcular \displaystyle\int_{C} F\cdot d r para a curva fechada r(t)=\langle 2\sin t,\,\cos t\rangle, 0\le t\le2\pi.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As componentes do campo são P(x,y)=x y^{2}+2y e Q(x,y)=x^{2}y+2x+2.
  • As curvas são explicitamente parametrizadas; para (c) os pontos inicial e final serão úteis e para (d) a curva é fechada (começa e termina no mesmo ponto).

Passo 2

Condição de conservatividade e verificação (aula rápida):
Para um campo vetorial \big(P(x,y),Q(x,y)\big) com derivadas parciais contínuas em um domínio simplesmente conexo do plano, uma condição necessária e suficiente para ser conservativo é
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Isto vem da igualdade das segundas derivadas mistas de uma função potencial f (se f existir, \partial^2 f/\partial x\partial y deve ser igual a \partial^2 f/\partial y\partial x) e é um critério prático que se usa muito em provas.
Calcule as derivadas parciais (tudo mostrado passo a passo):
P(x,y)=x y^{2}+2y \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial P}{\partial y}=2xy+2.
Q(x,y)=x^{2}y+2x+2 \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=2xy+2.
Como \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x} para todo (x,y), e o domínio natural do campo é \mathbb{R}^{2} (que é simplesmente conexo), conclui-se que F é conservativo. Em palavras: existe uma função potencial f com \nabla f=F, e integrais de linha de F são independentes de caminho.

Passo 3

Construção da função potencial f (método e explicação):
Se \nabla f=F, então
\frac{\partial f}{\partial x}=P(x,y)=x y^{2}+2y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=Q(x,y)=x^{2}y+2x+2.
Um procedimento prático é integrar \partial f/\partial x em relação a x, tratando y como constante, e depois ajustar com uma função de y que aparece como “constante de integração”.
Integre P em x:
f(x,y)=\int (x y^{2}+2y)\,dx=\frac{1}{2}x^{2}y^{2}+2xy+g(y),
onde g(y) é alguma função só de y (porque ao derivar em x ela desaparece).
Agora determine g(y) impondo \partial f/\partial y=Q. Calcule \partial f/\partial y:
\frac{\partial f}{\partial y}= \frac{1}{2}x^{2}\cdot 2y + 2x + g'(y)=x^{2}y+2x+g'(y).
Comparando com Q(x,y)=x^{2}y+2x+2 vemos que
g'(y)=2 \quad\Rightarrow\quad g(y)=2y + C,
onde C é constante real arbitrária.
Portanto uma função potencial é
f(x,y)=\frac{1}{2}x^{2}y^{2}+2xy+2y+C.
(A constante C não altera \nabla f.)

Passo 4

Cálculo da integral para a curva r(t)=\langle e^{t},\,1+t\rangle, 0\le t\le1 (parte (c)):
Como F é conservativo, a integral de linha entre dois pontos depende apenas da diferença da função potencial nos extremos (Teorema fundamental para gradientes):
\int_{C}F\cdot dr = f\big(r(1)\big)-f\big(r(0)\big).
Encontre os pontos extremos:
r(0)=\langle e^{0},\,1+0\rangle=\langle 1,\,1\rangle,\qquad r(1)=\langle e^{1},\,1+1\rangle=\langle e,\,2\rangle.
Avalie f nesses pontos (pode escolher C=0 para simplificar):
Calcule f(e,2):
f(e,2)=\frac{1}{2}e^{2}\cdot 2^{2}+2\cdot e\cdot 2 + 2\cdot 2 = \frac{1}{2}e^{2}\cdot 4 +4e+4 =2e^{2}+4e+4.
Calcule f(1,1):
f(1,1)=\frac{1}{2}\cdot 1^{2}\cdot 1^{2}+2\cdot1\cdot1+2\cdot1 =\frac{1}{2}+2+2=\frac{9}{2}.
Então a integral vale
\int_{C}F\cdot dr = \big(2e^{2}+4e+4\big)-\frac{9}{2} =2e^{2}+4e-\frac{1}{2}.

Passo 5

Cálculo da integral para a curva fechada r(t)=\langle 2\sin t,\,\cos t\rangle, 0\le t\le2\pi (parte (d)):
Para qualquer campo conservativo definido em um domínio que contém a curva, a integral sobre qualquer laço fechado é zero, pois é a diferença f(p)-f(p)=0 entre o ponto final e inicial (são iguais). Aqui a curva é fechada porque r(0)=r(2\pi). Logo
\int_{C}F\cdot dr = 0.

Resposta

(a) F é conservativo.
(b) f(x,y)=\dfrac{1}{2}x^{2}y^{2}+2xy+2y+C (qualquer constante C).
(c) \displaystyle \int_{C}F\cdot dr=2e^{2}+4e-\tfrac{1}{2}.
(d) \displaystyle \int_{C}F\cdot dr=0.

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